미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

절댓값 삼차함수의 교점

문제

양수 kk에 대하여 함수 f(x)f ( x )를 f(x)=∣x3−12x+k∣f ( x ) = \left| x ^{3} - 12 x + k \right| 라 하자. 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=ay = a(a≥0a \geq 0)이 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 aa의 값이 오직 하나일 때, kk의 값은? [4점] ①88②1010③1212④1414⑤1616

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수를 추론한다. g(x)g ( x )=x3−12x+k= x ^{3} - 12 x + k라 하면 f(x)f ( x )=∣g(x)∣= \left| g ( x ) \right| g′(x)g' ( x )=3x2−12= 3 x ^{2} - 12=3(x+2)(x−2)= 3 \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) g′(x)=0g' ( x ) = 0에서 x=−2x = \mathit{-} 2 또는 x=2x = 2 함수 g(x)g ( x )가 x=−2x = \mathit{-} 2에서 극댓값 k+16k + 16, x=2x = 2에서 극솟값 k−16k - 16을 가지므로 kk의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나누어 생각할 수 있다. (ⅰ) 0<k<160 < k < 16 또는 k>16k > 16인 경우

함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=ay = a가 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되는 실수 aa의 값이 33개 존재하므로 조건을 만족시키지 못한다. (ⅱ) k=16k = 16인 경우

함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=ay = a가 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되는 실수 aa의 값이 오직 하나이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 k=16k = 16

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#그래프 개형#극값

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