절댓값 삼차함수 극댓값

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수의 그래프를 추론하여 극댓값을 구한다. (ⅰ) $0 < a < 3$일 때 함수 $y = ( x ^{2} - 9 ) ( x + a )$의 그래프는 $x$축과 세 점 $( - 3 , 0 )$, $( - a , 0 )$, $( 3 , 0 )$에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 $f ( x ) = \left| ( x ^{2} - 9 ) ( x + a ) \right|$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $f ( x )$는 $x = \mathit{-} 3$, $x = \mathit{-} a$, $x = 3$에서 미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a = \mathit{3}$일 때 함수 $y$$= ( x ^{2} - 9 ) ( x + a )$$= ( x + 3 ) ^{2} ( x - 3 )$의 그래프는 $x$축과 점 $( - 3 , 0 )$ 에서 접하고 점 $( 3 , 0 )$에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 $f ( x ) = \left| \left( x + 3 \right) ^{2\left( x - 3 \right)} \right|$의 그래프 개형은 그림과 같다.

$f ( x )$는 $x = 3$에서만 미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅲ) $a > 3$일 때 함수 $y = ( x ^{2} - 9 ) ( x + a )$의 그래프는 $x$축과 세 점 $( - a , 0 )$, $( - 3 , 0 )$, $( 3 , 0 )$에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 $f ( x ) = \left| ( x ^{2} - 9 ) ( x + a ) \right|$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 $f ( x )$는 $x = \mathit{-} a$, $x = \mathit{-} 3$, $x = 3$에서 미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 $a = 3$ 함수 $y$$= \left( x ^{2} - 9 \right) ( x + 3 )$의 극솟값의 절댓값이 함수 $f ( x )$$= \left| \left( x ^{2} - 9 \right) ( x + 3 ) \right|$의 극댓값이다. $y$$= \left( x ^{2} - 9 \right) \left( x + 3 \right)$의 도함수는 $y' = 2 x \left( x + 3 \right) + \left( x ^{2} - 9 \right)$$= 3 \left( x + 3 \right) \left( x - 1 \right)$이므로 $y' = 0$에서 $x = \mathit{-} 3$ 또는 $x = 1$ $y$$= \left( x ^{2} - 9 \right) ( x + 3 )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

그러므로 함수 $y$$= \left( x ^{2} - 9 \right) ( x + 3 )$은 $x = 1$에서 극소이고 극솟값은 $- 32$ 따라서 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극대이고 극댓값은 $f ( 1 )$$= \left| - 32 \right|$$= 32$ [보충 설명] $a = 3$일 때 함수 $f ( x )$가 $x = 3$에서만 미분가능하지 않음을 보이자. $f ( x )$$= \left| \left( x ^{2} - 9 \right) \left( x + 3 \right) \right|$ $= \left| \left( x + 3 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) \right|$ $\displaystyle = {\begin{cases} \left( x + 3 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) \left( x \geq 3 \right) \\ ^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{}}}}}} - \left( x + 3 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) \left( x < 3 \right) \end{cases}}$ 함수 $f ( x )$가 구간 $\left( - \infty , 3 \right)$과 구간 $\left( 3 , \infty \right)$에서 각각 다항함수이므로 함수 $f ( x )$는 $x \ne 3$인 모든 실수 $x$에서 미분가능하다. 그런데 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{- ( x + 3 ) ^{2} ( x - 3 )}{x - 3}}$$= \mathit{-} 36$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{( x + 3 ) ^{2} ( x - 3 )}{x - 3}}$$= 36$ 이므로 극한값 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{f ( x ) - f ( 3 )}{x - 3}}$이 존재하지 않는다. 그러므로 $f ( x )$는 $x = 3$에서 미분가능하지 않다. 따라서 $f ( x )$는 오직 한 개의 $x$ 값에서만 미분가능하지 않다.