절댓값 사인함수와 직선

[출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질을 활용하여 문제를 해결한다. 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y$$= 2$와 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle 0 \leq x < \frac{4 \pi}{a}$일 때 방정식 $\displaystyle \left| 4 \sin \left( ax - \frac{\pi}{3} \right) + 2 \right|$$= 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ 의 실근과 같다. $\displaystyle ax - \frac{\pi}{3}$$= t$라 하면 $\displaystyle - \frac{\pi}{3} \leq t < \frac{11 \pi}{3}$이고 $\left| 4 \sin t + 2 \right|$$= 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ 에서 $\sin t$$= 0$ 또는 $\sin t$$= \mathit{-} 1$ $\displaystyle - \frac{\pi}{3} \leq t < \frac{11 \pi}{3}$일 때, 방정식 ㉡의 실근은 $0$, $\pi$, $\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$, $2 \pi$, $3 \pi$, $\displaystyle \frac{7 \pi}{2}$의 $6$개이고 이 $6$개의 실근의 합은 $11 \pi$이다. 따라서 $n$$= 6$이고 방정식 ㉠의 $6$개의 실근의 합이 $39$이므로 $\displaystyle 39 a - \frac{\pi}{3} \times 6$$= 11 \pi$, $a$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ 따라서 $n \times a$$\displaystyle = 6 \times \frac{\pi}{3}$$= \mathit{2} \pi$