절댓값 사인함수 교점

출제의도 : 삼각함수의 개념을 이해 하여 사인함수의 그래프를 그리고 그 성 질을 설명할 수 있는가? (i) $b = 1$일 때 함수 $y = 2 \sin a x + 1$은 최댓값이 $3$, 최솟 값이 $- 1$이므로 닫힌구간 $[ 0 , 2 \pi ]$에서 직선 $y = 1$과 만나는 점의 개수가 $10$이 되려면 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 다음과 같아야 한다.

즉,} 함수 $y = 2 \sin a x + 1$의 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$이 어야 하므로 $\displaystyle \frac{2 \pi}{a} = \frac{2 \pi}{3}$ 에서 $a = 3$ (ii) $b = 2$일 때 함수 $y = 2 \sin a x + 2$는 최댓값이 4 , 최솟 값이 0 이므로 닫힌구간 $[ 0 , 2 \pi ]$에서 직 선 $y = 1$과 만나는 점의 개수가 10 이 되 려면 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 다음과 같아야 한다.

즉, 함수 $y = 2 \sin a x + 1$의 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{5}$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{2 \pi}{a} = \frac{2 \pi}{5}$에서 $a = 5$ (iii) $b = 3$일 때 함수 $y = 2 \sin a x + 3$은 최댓값이 5 , 최솟 값이 1 이므로 닫힌구간 $[ 0 , 2 \pi ]$에서 직 선 $y = 1$과 만나는 점의 개수가 10 이 되 려면 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 다음과 같아야 한다.

즉, 함수 $y = 2 \sin a x + 1$의 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{10}$이 어야 하므로 $\displaystyle \frac{2 \pi}{a} = \frac{2 \pi}{10}$ 에서 $a = 10$ (iv) $b \geq 4$이면 함수 $y = f ( x )$의 그래프 가 직선 $y = 1$과 만나지 않으므로 조건 을 만족시키는 $a$의 값이 존재하지 않는다. (i) ~ (iv)에 의하여 조건을 만족시키는 두 자연수 $a , b$의 모든 순서쌍은 $( 3 , 1 )$, $( 5 , 2 )$, $( 10 , 3 )$ 이므로 $a + b$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은 $M = 10 + 3 = 13$ $m = 3 + 1 = 4$ 따라서 $M + m = 13 + 4 = 17$