절댓값 사인그래프

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle y = \left| \sin 2 x + \frac{2}{3} \right|$ $\displaystyle \frac{5}{3}$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $y = k _{0}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = k _{0}$$\left( k _{0} > 0 \right)$과 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\displaystyle 0 < k _{0} < \frac{1}{3}$일 때 $8$, $\displaystyle k _{0} = \frac{1}{3}$일 때 $6$, $\displaystyle \frac{1}{3} < k _{0} < \frac{2}{3}$일 때 $4$, $\displaystyle k _{0} = \frac{2}{3}$일 때 $5$, $\displaystyle \frac{2}{3} < k _{0} < \frac{5}{3}$일 때 $4$, $\displaystyle k _{0} = \frac{5}{3}$일 때 $2$, $\displaystyle k _{0} > \frac{5}{3}$일 때 $0$ $3 k > k$이므로 $\left| m - n \right| = 3$을 만족시키는 $m$과 $n$은 $m = 2$, $n = 5$ $\cdots$㉠ 또는 $m = 5$, $n = 8$ $m = 2$이면 $\displaystyle 3 k = \frac{5}{3}$, $\displaystyle k = \frac{5}{9}$ $\displaystyle \frac{1}{3} < \frac{5}{9} < \frac{2}{3}$에서 $n = 4$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. $m = 5$이면 $\displaystyle 3 k = \frac{2}{3}$, $\displaystyle k = \frac{2}{9}$ $\displaystyle 0 < \frac{2}{9} < \frac{1}{3}$에서 $n = 8$이다. $- \pi \leq x \leq \pi$일 때, 방정식 $\displaystyle \left| \sin 2 x + \frac{2}{3} \right| = \frac{2}{9}$의 모든 실근을 크기순으로 나열한 것을 $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\cdots$, $\alpha _{8}$이라 하자. $\displaystyle \alpha _{1} + \alpha _{4} = \alpha _{2} + \alpha _{3} = 2 \times \left( - \frac{\pi}{4} \right) \mathit{=} \mathit{-} \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \alpha _{5} + \alpha _{8} = \alpha _{6} + \alpha _{7} = 2 \times \frac{3}{4} \pi = \frac{3}{2} \pi$ 따라서 $\displaystyle \alpha _{1} + \alpha _{2} + \cdots + \alpha _{8} = 2 \times \left( - \frac{\pi}{2} \right) + 2 \times \frac{3}{2} \pi = 2 \pi$ (참고)

$\alpha _{1}$ $\displaystyle y = \left| \sin 2 x + \frac{2}{3} \right|$ $\displaystyle - \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \frac{3}{4} \pi$ $\alpha _{3}$ $\alpha _{2}$ $\alpha _{4}$ $\alpha _{5}$ $\alpha _{7}$ $\alpha _{6}$ $\alpha _{8}$ $\displaystyle \frac{2}{9}$