절댓값 사인 최댓값

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 최댓값 추론하기

함수 $y = f \left( x \right)$의 주기는 $2 \pi$이다. $n = 1$일 때, $\displaystyle 0 \leq {x} \leq \frac{3}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 1 \right) = \frac{1}{2}$이다. $n = 2$일 때, $\displaystyle \frac{\pi}{6} \leq {x} \leq \frac{4}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 2 \right) = \frac{1}{2}$이다. $n = 3$일 때, $\displaystyle \frac{2}{6} \pi \leq x \leq \frac{5}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 3 \right) = \frac{1}{2}$이다. $n = 4$일 때, $\displaystyle \frac{3}{6} \pi \leq x \leq \frac{6}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 4 \right) = \frac{1}{2}$이다. $n = 5$일 때, $\displaystyle \frac{4}{6} \pi \leq x \leq \frac{7}{6} \pi$에서 $g \left( 5 \right) = 1$이다. $n = 6$일 때, $\displaystyle \frac{5}{6} \pi \leq x \leq \frac{8}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 6 \right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. $n = 7$일 때, $\displaystyle \frac{6}{6} \pi \leq x \leq \frac{9}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 7 \right) = \frac{3}{2}$이다. $n = 8$일 때, $\displaystyle \frac{7}{6} \pi \leq x \leq \frac{10}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 8 \right) = \frac{3}{2}$이다. $n = 9$일 때, $\displaystyle \frac{8}{6} \pi \leq x \leq \frac{11}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 9 \right) = \frac{3}{2}$이다. $n = 10$일 때, $\displaystyle \frac{9}{6} \pi \leq x \leq \frac{12}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 10 \right) = \frac{3}{2}$이다. $n = 11$일 때, $\displaystyle \frac{10}{6} \pi \leq x \leq \frac{13}{6} \pi$에서 $\displaystyle g \left( 11 \right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. $n = 12$일 때, $\displaystyle \frac{11}{6} \pi \leq x \leq \frac{14}{6} \pi$에서 $g \left( 12 \right) = 1$이다. 따라서 $1 \leq {n} \leq 12$에서 $g \left( n \right)$이 무리수인 $n$은 $6$, $11$이다. 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $2 \pi$이므로 자연수 $m$에 대하여 $\displaystyle \frac{n - 1}{6} \pi \leq x \leq \frac{n + 2}{6} \pi$ $\cdots$① $\displaystyle \frac{n - 1}{6} \pi + 2 m {\pi} \leq x \leq \frac{n + 2}{6} \pi + 2 m {\pi}$, $\displaystyle \frac{n + 12 m - 1}{6} \pi \leq x \leq \frac{n + 12 m + 2}{6} \pi$ $\cdots$ ② ①, ②에서 $f \left( x \right)$의 최댓값은 서로 같다. 따라서 $g \left( n \right) = g \left( n + 12 m \right)$이다. $g \left( 6 \right) = g \left( 18 \right) = g \left( 30 \right)$, $g \left( 11 \right) = g \left( 23 \right) = g \left( 35 \right)$이므로 $40$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 $g \left( k \right)$가 무리수가 되도록 하는 모든 $k$의 값의 합은 $6 + 11 + 18 + 23 + 30 + 35 = 123$