미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

절댓값 포함 삼차함수 증가

문제

함수 f(x)=x3+6x2+15∣x−2a∣+3f ( x ) = x ^{3} + 6 x ^{2} + 15 | x - 2 a | + 3이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 aa의 최댓값은? [3점] ①−52\displaystyle - \frac{5}{2}②−2- 2③−32\displaystyle - \frac{3}{2}④−1- 1⑤−12\displaystyle - \frac{1}{2}

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①

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해설

(1) x≥2ax \geq 2 a일 때, f′(x)=3x2+12x+15>0f' ( x ) = 3 x ^{2} + 12 x + 15 > 0이므로 함수 f(x)f ( x )는 증가한다. (2) x≤2ax \leq 2 a일 때, f′(x)=3(x+5)(x−1)f' ( x ) = 3 ( x + 5 ) ( x - 1 )이므로 함수 f(x)f ( x )가 증가하려면 2a≤−52 a \leq - 5, a≤−52\displaystyle a \leq - \frac{5}{2} 따라서 실수 aa의 최댓값은 −52\displaystyle - \frac{5}{2}이다.

태그

#증가함수#절댓값

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