절댓값 포함 등비급수

$b _{n} = \left| a _{n} + 1 \right| - \left( a _{n} + 1 \right)$이라 하면 $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} 0 & & \left( a _{n} + 1 \geq 0 \right) \\ - 2 \left( a _{n} + 1 \right) & & \left( a _{n} + 1 < 0 \right) \end{cases}$ 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$라 하면 $\displaystyle a _{n} = a \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$(단, $n$은 자연수) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} \geq - 1$이면 $b _{n} = 0$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 $a \geq 3$ $n$이 홀수일 때, $b _{n} = 0$ $n$이 짝수일 때, $a _{n} < - 1$을 만족시키는 최대의 자연수 $n$을 $N$이라 하자. (Ⅰ) $n > N$인 경우 $a _{n} + 1 \geq 0$이므로 $b _{n} = 0$ (Ⅱ) $n \leq N$인 경우 $a _{n} + 1 < 0$이므로 $b _{n}$$= - 2 \left( a _{n} + 1 \right)$$\displaystyle = - 2 \left\{ a \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} \right\} - 2$ 이고 $a _{N} < - 1 \leq a _{N + 2}$ $\displaystyle a \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{N - 1} < - 1 \leq a \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{N + 1}$ $- 1 \times \left( - 2 \right) ^{N - 1} < a \leq - 1 \times \left( - 2 \right) ^{N + 1}$ $2 ^{N - 1} < a \leq 2 ^{N + 1}$ (Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여 다음 경우로 나누어 생각할 수 있다. (ⅰ) $N = 2$인 경우 $2 < a \leq 2 ^{3}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = b _{2} = - 2 \left( a _{2} + 1 \right) = a - 2$ $a - 2 \leq 2 ^{3} - 2 = 6$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} \leq 6$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $N = 4$인 경우 $2 ^{3} < a \leq 2 ^{5}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$$= b _{2} + b _{4}$ $= - 2 \left( a _{2} + 1 \right) - 2 \left( a _{4} + 1 \right)$ $\displaystyle = \left( a - 2 \right) + \left( \frac{1}{4} a - 2 \right) = \frac{5}{4} a - 4$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \frac{5}{4} a - 4 = 26$에서 $a = 24$ (ⅲ) $N \geq 6$인 경우 $a > 2 ^{5}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} > b _{2} + b _{4} = \frac{5}{4} a - 4$ $\displaystyle \frac{5}{4} a - 4 > \frac{5}{4} \times 2 ^{5} - 4 = 36$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} > 36$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a = 24$ 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $24$이고 공비가 $\displaystyle - \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{n} = 24 \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{24}{1 - \left( - \frac{1}{2} \right)} = 16$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 16$