절댓값 조건의 등차수열과 분수 합

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d \left( d \ne 0 \right)$라 하자. $\left| a _{6} \right| = a _{8}$이고, $d \ne 0$이므로 $a _{8} = - a _{6}$, $a _{6} + a _{8} = 0$ $a _{8} > 0$이므로 $a _{6} < 0$ 등차중항의 성질에 의하여 $2 a _{7} = a _{6} + a _{8}$, $a _{7} = 0$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항은 $a _{n} - a _{7} = \left( n - 7 \right) \times d$, $a _{n} = d \left( n - 7 \right)$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{5}{96}$이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} \frac{1}{d \left( k - 7 \right) \times d \left( k - 6 \right)}$ $\displaystyle = \frac{1}{d ^{2}} \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( \frac{1}{k - 7} - \frac{1}{k - 6} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{d ^{2}} \times \left( - \frac{1}{6} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{d ^{2}} \times \left( - \frac{1}{6} + \frac{1}{1} \right)$ $\displaystyle = \frac{5}{6 d ^{2}}$ $\displaystyle \frac{5}{6 d ^{2}} = \frac{5}{96}$이므로 $d ^{2} = 16$, $d = \pm 4$ $a _{6} < 0$, $a _{8} > 0$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항은 $a _{n} = 4 \left( n - 7 \right)$ 이다. $a _{7} = 0$이므로 등차중항의 성질에 의하여 $a _{7 - k} + a _{7 + k} = 0 \left( k = 1 , 2 , \cdots , 6 \right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{k}$의 값은 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{k}$$= \left\{ \left( a _{1} + a _{13} \right) + \cdots + \left( a _{6} + a _{8} \right) + a _{7} \right\} + \left( a _{14} + a _{15} \right)$ $= a _{14} + a _{15}$$= 4 \left( 7 + 8 \right)$$= 60$