절댓값 지수함수

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 주어진 문제를 해결한다. 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 5} - 64$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $5$만큼, $y$축의 방향으로 $- 64$만큼 평행이동시킨 것이다. 따라서 이 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표는 $\displaystyle f ( 0 ) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{- 5} - 64$$= 2 ^{5} - 64 = - 32$ 점근선의 방정식은 $y = - 64$이므로 $\displaystyle y = \left| f ( x ) \right| = {\begin{cases} \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 5} - 64 & ( x < - 1 ) \\ \begin{aligned} \\ - \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 5} + 64 \end{aligned} & \begin{aligned} \\ ( x \geq - 1 ) \end{aligned} \end{cases}}$ 의 그래프는 그림과 같다.

이때, 곡선 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $y = k$가 제$1$사분면에서 만나기 위해서는 $32 < k < 64$이어야 한다. 따라서 구하는 자연수 $k$의 개수는 $64 - 32 - 1 = 31$