절댓값 정적분 삼차함수

조건 (가)에서 $\displaystyle \int _{p} ^{p + 3} \left| f \left( x \right) \right| dx \neq \left| \int _{p} ^{p + 3} f \left( x \right) dx \right|$ 이 성립할 조건은 함수 $f \left( x \right)$가 닫힌구간 $\left[ p , p + 3 \right]$에서 부호가 변하는 것이다. 삼차함수 $f \left( x \right)$는 상수항이 $0$이므로 $f \left( 0 \right) = 0$ 만약 $x = 0$의 좌우에서 부호의 변화가 있다면 $p < 0 < p + 3$, 즉 $- 3 < p < 0$이므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. 따라서 $x = 0$은 중근이어야 한다. $f \left( x \right) = ax ^{2} \left( x - \alpha \right)$ (단, $a \neq 0$, $\alpha \neq 0$) 라 하면 함수 $f \left( x \right)$의 부호 변화가 있는 지점은 $x = \alpha$이다. 즉 $p < \alpha < p + 3$이므로 $\alpha - 3 < p < \alpha$ 함수 $f \left( x \right)$가 닫힌구간 $\left[ p , p + 3 \right]$에서 부호가 변하도록 하는 모든 실수 $p$의 값의 범위가 $0 < p < 3$이므로 $\alpha = 3$ $\therefore$ $f \left( x \right) = ax ^{2} \left( x - 3 \right)$ 한편, 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{3} \left| f \left( x \right) + q \right| dx \neq \left| \int _{0} ^{3} \left\{ f \left( x \right) + q \right\} dx \right|$ 가 성립할 조건은 함수 $f \left( x \right) + q$가 닫힌구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 부호가 변하는 것이다. $a < 0$이면 닫힌구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 $f \left( x \right) \geq 0$이고, $q > 0$이므로 함수 $f \left( x \right) + q$는 구간에서 부호 변화가 생기지 않는다. 따라서 닫힌구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 함수 $f \left( x \right) + q$의 최댓값은 양수이고 최솟값은 음수이려면 $a > 0$이어야 한다. $f \left( x \right) = ax ^{2} \left( x - 3 \right) = ax ^{3} - 3 ax ^{2}$에서 $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} - 6 ax = 3 ax \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ $0 \leq x \leq 3$에서 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f \left( x \right) + q$는 $x = 2$에서 극소이면서 최솟값 $f \left( 2 \right) + q = - 4 a + q$를 갖는다. 따라서 $- 4 a + q < 0$, $q > 0$이므로 $0 < q < 4 a$ 함수 $f \left( x \right) + q$의 부호가 변하도록 하는 모든 실수 $q$의 값의 범위가 $0 < q < 1$이므로 $4 a = 1$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} x ^{2} \left( x - 3 \right)$이므로 $\displaystyle f \left( 6 \right) = \frac{1}{4} \times 6 ^{2} \times \left( 6 - 3 \right) = 27$ [참고] 임의의 연속함수 $f \left( x \right)$에 대하여 $\displaystyle \int _{a} ^{b} \left| f \left( x \right) \right| dx = \left| \int _{a} ^{b} f \left( x \right) dx \right|$ 이 성립하는 것은 구간 $\left[ a , b \right]$에서 $f \left( x \right) \geq 0$ 또는 $f \left( x \right) \leq 0$ 따라서 임의의 연속함수 $f \left( x \right)$에 대하여 $\displaystyle \int _{a} ^{b} \left| f \left( x \right) \right| dx \neq \left| \int _{a} ^{b} f \left( x \right) dx \right|$ 가 성립할 조건은 함수 $f \left( x \right)$가 닫힌구간 $\left[ a , b \right]$에서 부호가 변하는 것이다.