절댓값 정적분 최솟값

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 최솟값에 대한 문제를 해결한다. $g ( x ) = | 2 ^{x} - 5 |$라 하면 함수 $y = g ( x + 2 )$의 그래프와 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 교점의 $x$좌표는 그림과 같이 $- 2 + \log _{2} 5$보다 크고 $\log _{2} 5$보다 작다.

$f' ( x ) = g ( x + 2 ) - g ( x )$이므로 $f' ( x ) = 0$에서 $f' ( x ) = 2 ^{x + 2} - 5 - ( - 2 ^{x} + 5 ) = 0$, $5 \times 2 ^{x} = 10$, $x = 1$ $x < 1$에서 $f' \left( x \right) < 0$이고, $x > 1$에서 $f' \left( x \right) > 0$이므로 함수 $y = f ( x )$는 $x = 1$에서 극소이면서 최소이다. $f ( 1 )$$\displaystyle = \int _{1} ^{3} {| 2 ^{t} - 5 |} dt$ $\displaystyle = \int _{1} ^{\log _{2} 5} {( - 2 ^{t} + 5 )} dt + \int _{\log _{2} 5} ^{3} {( 2 ^{t} - 5 )} dt$ $\displaystyle = \left[ - \frac{2 ^{t}}{\ln 2} + 5 t \right] _{1} ^{\log _{2} 5}$$\displaystyle + \left[ \frac{2 ^{t}}{\ln 2} - 5 t \right] _{\log _{2} 5} ^{3}$ $\displaystyle = \left( - \frac{3}{\ln 2} + 5 \log _{2} 5 - 5 \right)$$\displaystyle + \left( \frac{3}{\ln 2} + 5 \log _{2} 5 - 15 \right)$ $= 10 \log _{2} 5 - 20$ 따라서 $m = 10 \log _{2} 5 - 20$$\displaystyle = \log _{2} \left( \frac{5}{4} \right) ^{10}$이므로 $2 ^{m}$$\displaystyle = 2 ^{\log _{2} \left( \frac{5}{4} \right) ^{10}}$$\displaystyle = \left( \frac{5}{4} \right) ^{10}$