절댓값 점화식 수열의 참거짓

ㄱ. $\displaystyle a _{n+1} = \frac{1}{2} | a _{n} | - 1 ,$ $a _{1} = 1$, $\displaystyle a _{2} = - \frac{1}{2}$ $\left| a _{n} \right| < 2$ 이면 $\displaystyle - 1 \leq a _{n + 1} = \frac{1}{2} \left| a _{n} \right| - 1 < 0$ 이다 그런데, $\left| a _{n + 1} \right| < 2$ 이므로 $a _{n + 2} < 0$ 이다. 그러므로 $n \geq 2$인 모든 $n$에서 $a _{n} < 0$ 이다. $( T )$ ㄴ. $2$이상의 $n$에 대하여 $a _{n} < 0$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} | a _{n} | - 1 = - \frac{1}{2} a _{n} - 1$이다. 이 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \alpha}$라 하자. 그러면 $\displaystyle \alpha = - \frac{1}{2} \alpha - 1$이므로 $\displaystyle \alpha = - \frac{2}{3}$$( F )$ (이 방법은 수렴할 경우만 가능하지만, 발산할 경우 ㄴ 은 거짓이기 때문에 상관없다.) ㄷ. $2$이상의 $n$에 대하여 $a _{n} < 0$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} | a _{n} | - 1 = - \frac{1}{2} a _{n} - 1$이고, 이 점화식을 정리하면 $\displaystyle a _{n + 1} + \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} ( a _{n} + \frac{2}{3} )$이고 $\displaystyle b _{n} = a _{n + 1} + \frac{2}{3}$이라 하면, $\displaystyle b _{1} = a _{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$이다. 따라서 $\displaystyle b _{n} = \frac{1}{6} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$이며, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = \frac{\frac{1}{6}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{9}$이다.$( T )$