절댓값 적분과 치환

[출제의도] 함수의 그래프의 개형과 치한적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 $k$라 하자. 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{1}$, 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축, 직선 $x = 1$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S _{2}$라 하자. $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx = 2$에서 $- S _{1} + S _{2} = 2$$\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} \left| f ( x ) \right| dx$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle S _{1} + S _{2} = 2 \sqrt{2}$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠} , \text{㉡}$에서 $\displaystyle S _{1} = \sqrt{2} - 1$, $\displaystyle S _{2} = \sqrt{2} + 1$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) F ( x ) dx$ 에서 $F ( x ) = t$ 라 두면 $\displaystyle dt = F' ( x ) dx = \left| f ( x ) \right| dx = {\begin{cases} - f ( x ) dx & ( 0 \leq x \leq k ) \\ f ( x ) dx & ( k \leq x \leq 1 ) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) F ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{k} {} f ( x ) F ( x ) dx + \int _{k} ^{1} {} f ( x ) F ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{F ( 0 )} ^{F ( k )} {t ( - dt ) + \int _{F ( k )} ^{F ( 1 )} {t dt}}$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{\sqrt{2} - 1} {t dt + \int _{\sqrt{2} - 1} ^{2 \sqrt{2}} {t dt}}$ $\displaystyle = - \left[ \frac{t ^{2}}{2} \right] _{0} ^{\sqrt{2} - 1} + \left[ \frac{t ^{2}}{2} \right] _{\sqrt{2} - 1} ^{2 \sqrt{2}}$$\displaystyle = 1 + 2 \sqrt{2}$