대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

절댓값 이차함수 등차

문제

그림과 같이 함수 $y = \left| x ^{2} - 9 \right|$ 의 그래프가 직선 $y = k$ 와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 점의 $x$ 좌표를 각각 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $a _{4}$ 라 하자. 네 수 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $a _{4}$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $a _{1} < a _{2} < a _{3} < a _{4}$ ) [4점]

① $\displaystyle \frac{34}{5}$ ② $7$ ③ $\displaystyle \frac{36}{5}$ ④ $\displaystyle \frac{37}{5}$ ⑤ $\displaystyle \frac{38}{5}$

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③

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해설

[출제의도] 등차수열을 활용하여 문제해결하기 함수 $y = \left| x ^{2} - 9 \right|$ 의 그래프는 $y$ 축 대칭이므로 $a _{2} = - a _{3}$ 이 등차수열의 공차는 $a _{3} - a _{2} = 2 a _{3}$ 이므로 $a _{4} = a _{3} + 2 a _{3} = 3 a _{3}$ 점 $\left( a _{3} , k \right)$ 는 곡선 $y = - x ^{2} + 9$ 위의 점이므로 $- a _{3} ^{2} + 9 = k$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\left( a _{4} , k \right)$ 는 곡선 $y = x ^{2} - 9$ 위의 점이므로 $a _{4} ^{2} - 9 = 9 a _{3} ^{2} - 9 = k$ $\cdots \cdots$ ㉡㉠, ㉡에서 $10 k = 72$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{36}{5}$

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