절댓값 이차부등식

[출제의도] 절댓값을 포함한 부등식 이해하기 ⅰ) $x \geq 1$일 때 $x ^{2} - 2 x - 5 < x - 1$이므로 $x ^{2} - 3 x - 4 < 0$이고 $\left( x + 1 \right) \left( x - 4 \right) < 0$이다. 즉, $- 1 < x < 4$이고, $x \geq 1$이므로 범위는 $1 \leq x < 4$이다. ⅱ) $x < 1$일 때 $x ^{2} - 2 x - 5 < - \left( x - 1 \right)$이므로 $x ^{2} - x - 6 < 0$이고 $\left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) < 0$이다. 즉, $- 2 < x < 3$이고 $x < 1$이므로 범위는 $- 2 < x < 1$이다. ⅰ), ⅱ)에 의해 $- 2 < x < 4$이고 범위를 만족시키는 정수 $x$는 $- 1 , 0 , 1 , 2 , 3$이므로 개수는 5이다. [다른풀이] $x ^{2} - 2 x - 5 = x ^{2} - 2 x + 1 - 6$ $= \left( x - 1 \right) ^{2} - 6$ $= \left| x - 1 \right| ^{2} - 6$ $( \because \left| x - 1 \right| ^{2} = \left( x - 1 \right) ^{2} )$ 주어진 식 $x ^{2} - 2 x - 5 < \left| x - 1 \right|$에 위 식을 대입하면 $\left| x - 1 \right| ^{2} - 6 < \left| x - 1 \right|$이므로 $\left. ( \left| x - 1 \right| - 3 ) ( \left| x - 1 \right| + 2 ) < 0 \right.$이다. $\left| x - 1 \right| + 2 > 0$이므로 $\left| x - 1 \right| < 3$이다. 따라서 $- 2 < x < 4$이고 범위를 만족시키는 정수 $x$는 $- 1 , 0 , 1 , 2 , 3$이므로 개수는 5이다. [참고] $y = x ^{2} - 2 x - 5$와 $y = | x - 1 |$의 그래프는 다음과 같다.

$y = | x - 1 |$ $y = x ^{2} - 2 x - 5$