대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절댓값 합과 등차수열

문제

공차가 음의 정수인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 a6=−2a _{6} = - 2, ∑k=18∣ak∣=∑k=18ak+42\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} \left| a _{k} \right| = \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k} + 42 일 때, ∑k=18ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k}의 값은? [4점] ①40\mathrm{40}②44\mathrm{44}③48\mathrm{48}④52\mathrm{52}⑤56\mathrm{56}

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②

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해설

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차를 d(d<0)d \left( d < 0 \right)이라 하자. a6a _{6}, dd가 모두 정수이므로 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 모든 항은 정수이다. d=a6−a5=−2−a5d = a _{6} - a _{5} = - 2 - a _{5}이고 d<0d < 0이므로 a5>−2a _{5} > - 2 즉, a5=−1a _{5} = - 1 또는 a5a _{5}는 음이 아닌 정수이다. (ⅰ) a5=−1a _{5} = - 1일 때 d=−2−a5=−1d = - 2 - a _{5} = - 1이므로 an=−n+4a _{n} = - n + 4 ∑k=18ak=−4\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k} = - 4, ∑k=18∣ak∣=16\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} \left| a _{k} \right| = 16이므로 ∑k=18∣ak∣=∑k=18ak+42\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} \left| a _{k} \right| = \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k} + 42 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 이 성립하지 않는다. (ⅱ) a5a _{5}는 음이 아닌 정수일 때 n≤5n \leq 5일 때 an≥0a _{n} \geq 0이고 ∣an∣=an\left| a _{n} \right| = a _{n} n≥6n \geq 6일 때 an<0a _{n} < 0이고 ∣an∣=−an\left| a _{n} \right| = - a _{n} ㉠에서 −a6−a7−a8=a6+a7+a8+42- a _{6} - a _{7} - a _{8} = a _{6} + a _{7} + a _{8} + 42 a6+a7+a8=−21a _{6} + a _{7} + a _{8} = - 21 a6+(a6+d)+(a6+2d)=−21a _{6} + \left( a _{6} + d \right) + \left( a _{6} + 2 d \right) = - 21, a6+d=−7a _{6} + d = - 7 a6=−2a _{6} = - 2이므로 d=−5d = - 5 (ⅰ), (ⅱ)에서 d=−5d = - 5이고 a1=a6−5d=−2+25=23a _{1} = a _{6} - 5 d = - 2 + 25 = 23이다. 따라서 ∑k=18ak=8×{2×23+7×(−5)}2=44\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{8} a _{k} = \frac{8 \times \left\{ 2 \times 23 + 7 \times \left( - 5 \right) \right\}}{2} = 44

태그

#등차수열의 합#절댓값

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