절댓값 합 함수의 미분가능성

$\displaystyle \left| f ( x ) \right| = {\begin{cases} - e ^{x + 1} + 1 & ( x < - 1 ) \\ e ^{x + 1} - 1 & ( x \geq - 1 ) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{d}{dx} \left| f ( x ) \right| = {\begin{cases} - e ^{x + 1} & ( x < - 1 ) \\ e ^{x + 1} & ( x > - 1 ) \end{cases}}$ 이다. 따라서 $p ( x ) = 100 \left| f ( x ) \right|$ 라 하면 함수 $p ( x )$는 $x = - 1$에서 미분가능하지 않고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {p' ( x ) = - 100}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {p' ( x ) = 100}$ 이다. 한변, $k = 2 m - 1 ( m \text{은} \text{자연수} )$일 때, $f ( x ^{k} ) = e ^{x ^{2 m - 1} + 1} - 1$이므로 $f ( x ^{k} ) = e ^{x ^{2 m - 1} + 1} - 1 = 0$ 에서 $x = - 1$ $\displaystyle \therefore \left| f ( x ^{2 m - 1} ) \right| = {\begin{cases} - e ^{x ^{2 m - 1} + 1} + 1 & ( x < - 1 ) \\ e ^{x ^{2 m - 1} + 1} - 1 & ( x \geq - 1 ) \end{cases}}$ $\displaystyle \therefore \frac{d}{dx} \left| f ( x ^{2 m - 1} ) \right| = {\begin{cases} - ( 2 m - 1 ) x ^{2 m - 2} e ^{x ^{2 m - 1} + 1} & ( x < - 1 ) \\ ( 2 m - 1 ) x ^{2 m - 2} e ^{x ^{2 m - 1} + 1} & ( x \geq - 1 ) \end{cases}}$ 따라서 $q ( x ^{2 m - 1} ) = \left| f ( x ^{2 m - 1} ) \right|$ 이라 하면 함수 $q ( x ^{2 m - 1} )$는 $x = - 1$에서 미분가능하지 않고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {q' ( x ^{2 m - 1} ) = - ( 2 m - 1 )}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {q' ( x ^{2 m - 1} ) = 2 m - 1}$ 이다. 또, $k = 2 m ( m \text{은} \text{자연수} )$일 때, $f ( x ^{k} ) = e ^{x ^{2 m} + 1} - 1$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ^{k} ) > 0$이다. 따라서 $\left| f ( x ^{k} ) \right| = e ^{x ^{2 m} + 1} - 1$ 이므로 $\displaystyle \frac{d}{dx} \left| f ( x ^{k} ) \right| = 2 mx ^{2 m - 1} e ^{x ^{2 m} + 1}$ 따라서 $r ( x ^{2 m} ) = \left| f ( x ^{2 m} ) \right|$ 이라 하면 함수 $r ( x ^{2 m} )$은 실수 전체집합에서 미분가능하다. 이제 $n = 2 m - 1$또는 $n = 2 m$일 때, 함수 $\displaystyle 100 \left| f ( x ) \right| - \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left| f ( x ^{2 k - 1} ) \right|$를 $s ( x )$라 하자. 즉 $\displaystyle s ( x ) = p ( x ) - \sum\limits _{k = 1} ^{m} q ( x ^{2 k - 1} )$ 이때 함수 $s ( x )$가 $x = - 1$에서 미분가능하면 함수 $g ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. $x \ne - 1$일 때 $\displaystyle s' ( x ) = p' ( x ) - \sum\limits _{k = 1} ^{m} q' ( x ^{2 k - 1} )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {s' ( x ) = - 100 + \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 )}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {s' ( x ) = 100 - \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 )}$ 이때, 함수 $s ( x )$가 $x = - 1$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {s' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {s' ( x )}}$ 즉, $\displaystyle - 100 + \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) = 100 - \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 )$ 이어야 한다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 2 k - 1 ) = m ^{2} = 100$에서 $m = 10$ 따라서 $n = 2 m - 1$ 또는 $n = 2 m$이므로 $n = 19$ 또는 $n = 20$ 이다. 따라서 구하는 모든 자연수 $n$의 값은 합은 $19 + 20 = 39$