절댓값 함수의 극값

[출제의도] 미분법을 활용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다. $f' ( x )$$= ( 2 x + a ) e ^{- x} - ( x ^{2} + ax + b ) e ^{- x}$ $= \mathit{-} \left\{ x ^{2} + ( a - 2 ) x + b - a \right\} e ^{- x}$ $f' ( x ) = 0$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $e ^{- x} > 0$이므로 $x ^{2} + ( a - 2 ) x + b - a = 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (가)에서 이차방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이 두 실근을 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)라 하자. 이차방정식 ㉠의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $D _{1}$$= ( a - 2 ) ^{2} - 4 ( b - a )$$= a ^{2} + 4 - 4 b$$> 0$ $f ( x ) = 0$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $e ^{- x} > 0$이므로 $x ^{2} + ax + b = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이차방정식 ㉡의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $D _{2} = a ^{2} - 4 b$ (ⅰ) $D _{2}$$> 0$인 경우 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나고, 이 두 점의 $x$좌표를 $\gamma$, $\delta$($\gamma < \delta$)라 하면 함수 $y = \left| f ( x ) \right|$의 그래프의 개형은 [그림 1]과 같다.

[그림 1]

함수 $\left| f ( x ) \right|$는 $x = \alpha$, $x = \beta$에서 극대이고 $x = \gamma$, $x = \delta$에서 극소이므로 조건 (나)에서 모든 $k$의 값의 합은 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$와 이차방정식 ㉡의 서로 다른 두 실근 $\gamma$, $\delta$의 합과 같다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\left( \alpha + \beta \right) + \left( \gamma + \delta \right) = ( 2 - a ) + ( - a ) = 3$ $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$ 이때 $a$는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $D _{2}$$= 0$인 경우 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축에 접하고, 이 접점의 $x$좌표는 $\alpha$이므로 함수 $y = \left| f ( x ) \right|$의 그래프의 개형은 [그림 2]와 같다.

[그림 2]

함수 $\left| f ( x ) \right|$는 $x = \beta$에서 극대이고 $x = \alpha$에서 극소이므로 조건 (나)에서 모든 $k$의 값의 합은 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$의 합과 같다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 2 - a = 3$, $a = \mathit{-} 1$ $D _{2} = \left( - 1 \right) ^{2} - 4 b = 0$, $\displaystyle b = \frac{1}{4}$ 이때 $b$는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $D _{2}$$< 0$인 경우 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축과 만나지 않으므로 함수 $y = \left| f ( x ) \right|$의 그래프의 개형은 [그림 3]과 같다.

[그림 3]

함수 $\left| f ( x ) \right|$는 $x = \beta$에서 극대이고 $x = \alpha$에서 극소이므로 조건 (나)에서 모든 $k$의 값의 합은 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta$의 합과 같다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 2 - a = 3$, $a = \mathit{-} 1$ $D _{1} = \left( - 1 \right) ^{2} + 4 - 4 b > 0$, $\displaystyle b < \frac{5}{4}$ $D _{2} = \left( - 1 \right) ^{2} - 4 b < 0$, $\displaystyle b > \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{4} < b < \frac{5}{4}$이고 $b$는 정수이므로 $b = 1$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 정수 $a$, $b$의 값이 $a = \mathit{-} 1$, $b = 1$이므로 $f ( x ) = \left( x ^{2} - x + 1 \right) e ^{- x}$ 따라서 $f ( 10 ) = \left( 10 ^{2} - 10 + 1 \right) e ^{- 10} = 91 e ^{- 10}$이므로 $p = 91$