절댓값 함수 미분가능

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 활용하여 문제 해결하기 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $x = 0$에서 연속이다. $g \left( 0 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g \left( x \right)} = f \left( 2 \right) = 0$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - p \right)$$\displaystyle ( \begin{matrix} \end{matrix}$$p$는 상수$\displaystyle \begin{matrix} ) \end{matrix}$$\displaystyle \begin{matrix} \end{matrix}$라 하면 $f \left( x + 2 \right) = x \left( x + 2 - p \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h} = 2 - p}$ 함수 $xf \left( x \right)$의 한 부정적분을 $F \left( x \right)$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( 0 + h \right) - g \left( 0 \right)}{h}}$$\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{F \left( h \right) - F \left( 0 \right)}{h}}$$= F' \left( 0 \right) = 0$ $g' \left( 0 \right) = 2 - p = 0$, $p = 2$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2}$ 그러므로

함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) $g \left( a \right) = 0$인 경우 $h \left( x \right) = g \left( x \right)$이므로 함수 $h \left( x \right)$가 $x = k$에서 미분가능하지 않은 실수 $k$의 개수는 $0$ (ⅱ) $0 < g \left( a \right) < g \left( 2 \right)$ 또는 $g \left( 2 \right) < g \left( a \right)$인 경우 방정식 $h \left( x \right) = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha -} {\frac{h \left( x \right) - h \left( \alpha \right)}{x - \alpha} \ne \lim\limits _{x \rightarrow \alpha +} {\frac{h \left( x \right) - h \left( \alpha \right)}{x - \alpha}}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \beta -} {\frac{h \left( x \right) - h \left( \beta \right)}{x - \beta} \ne \lim\limits _{x \rightarrow \beta +} {\frac{h \left( x \right) - h \left( \beta \right)}{x - \beta}}}$ 함수 $h \left( x \right)$는 $x = \alpha$, $x = \beta$에서 미분가능하지 않다. 함수 $h \left( x \right)$가 $x = k$에서 미분가능하지 않은 실수 $k$의 개수는 $2$ (ⅲ) $g \left( a \right) = g \left( 2 \right)$인 경우 방정식 $h \left( x \right) = 0$의 두 근을 $\gamma$$\left( \gamma < 0 \right)$, $2$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \gamma -} {\frac{h \left( x \right) - h \left( \gamma \right)}{x - \gamma} \ne \lim\limits _{x \rightarrow \gamma +} {\frac{h \left( x \right) - h \left( \gamma \right)}{x - \gamma}}}$ 함수 $h \left( x \right)$는 $x = \gamma$에서 미분가능하지 않다. $0 < x < 2$일 때, $h \left( x \right) = g \left( 2 \right) - g \left( x \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{h \left( x \right) - h \left( 2 \right)}{x - 2} = \mathit{-} g' \left( 2 \right) = 0}$ $x > 2$일 때, $h \left( x \right) = g \left( x \right) - g \left( 2 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{h \left( x \right) - h \left( 2 \right)}{x - 2} = g' \left( 2 \right) = 0}$ 함수 $h \left( x \right)$는 $x = 2$에서 미분가능하다. 함수 $h \left( x \right)$가 $x = k$에서 미분가능하지 않은 실수 $k$의 개수는 $1$ $\displaystyle g \left( 2 \right) = \int _{0} ^{2} {} t \left( t - 2 \right) ^{2} dt = \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle g \left( \gamma \right) = \gamma ^{2} = \frac{4}{3}$, $\displaystyle \gamma = \mathit{-} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 따라서 함수 $h \left( x \right)$가 $x = k$에서 미분가능하지 않은 실수 $k$의 개수가 $1$이 되도록 하는 모든 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle 2 \times \left( - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) = \mathit{-} \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ [참고] 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.