미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절댓값 함수 최댓값의 정적분

문제

실수 tt에 대하여 함수 f(x)=x2−2∣x−t∣(−1≤x≤1)f ( x ) = x ^{2} - 2 | x - t | ( - 1 \leq x \leq 1 )의 최댓값을 g(t)g ( t )라 하자. ∫032g(t)dt=qp\displaystyle \int _{0} ^{\frac{3}{2}} g ( t ) dt = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하여라. (단, p,p , qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 보기
1919

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

절댓값을 풀면 f(x)={x2+2x−2t(x<t)x2−2x+2t(x≥t)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} x ^{2} + 2 x - 2 t & ( x < t ) \\ x ^{2} - 2 x + 2 t & ( x \geq t ) \end{cases}} f(x)f ( x )의 최댓값= g(t)={2t+3(t<−1)t2(−1≤t≤1)3−2t(1<t)\displaystyle g ( t ) = {\begin{cases} 2 t + 3 & ( t < - 1 ) \\ t ^{2} & ( - 1 \leq t \leq 1 ) \\ 3 - 2 t & ( 1 < t ) \end{cases}} 따라서 ∫032g(t)dt=∫01t2dt+∫132(3−2t)dt=712\displaystyle \int _{0} ^{\frac{3}{2}} {} g ( t ) dt = \int _{0} ^{1} {t ^{2} dt + \int _{1} ^{\frac{3}{2}} {( 3 - 2 t ) dt} = \frac{7}{12}} 그러므로 p+q=19p + q = 19

태그

#절댓값함수의 최댓값#정적분

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅰ 문제 모음미적분Ⅰ 부정적분과 정적분 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로