절댓값 도함수 지수 함수

[출제의도] 미분을 활용하여 함수 추론하기 $f ( x ) = a ( x - m ) ^{2} + n$이라 하자. $f' \left( x \right) = 2 a \left( x - m \right)$이고 $f'' \left( x \right) = 2 a$이다. 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = \left| f' ( x ) \right|$는 각각 직선 $x = m$에 대하여 대칭이므로 함수 $g ( x ) = \left| f' \left( x \right) \right| e ^{f ( x )}$의 그래프도 직선 $x = m$에 대하여 대칭이다. (ⅰ) $x > m$인 경우 $a > 0$이면 함수 $y = f' \left( x \right) e ^{f ( x )}$는 실수 전체에서 증가하므로 함수 $g ( x )$의 최댓값이 존재하지 않는다. 그러므로 조건 (나)에 의하여 $a < 0$이다. $g' \left( x \right)$$= - \left( f' \left( x \right) e ^{f ( x )} \right)'$ $g' \left( x \right)$$= - \left[ f'' \left( x \right) + \left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} \right] e ^{f ( x )}$ $g' \left( x \right)$$= \left\{ - 4 a ^{2} ( x - m ) ^{2} - 2 a \right\} e ^{f ( x )}$ 방정식 $g' \left( x \right) = 0$을 만족하는 $x$는 한 개이고 그 값을 $p$$\left( p > m \right)$이라 하자. 함수 $g \left( x \right)$는 $x = p$에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다. (ⅱ) $x < m$인 경우 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 직선 $x = m$에 대하여 대칭이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2 m - p$에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $y = g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g ( m ) = 0$이고, 함수 $g ( x )$는 $x = 2$에서 극솟값을 가지므로 $m = 2$이다. 함수 $g ( x )$는 $x = p$에서 최댓값이 $\displaystyle 4 \sqrt{e}$이므로 $\displaystyle g ( p ) = \left| f' \left( p \right) \right| e ^{f ( p )} = 4 \sqrt{e}$이다. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수이므로 $f' \left( p \right) = 2 a ( p - 2 ) = - 4$ …… ㉠ $\displaystyle f ( p ) = a \left( p - 2 \right) ^{2} + n = \frac{1}{2}$ …… ㉡ 또한 함수 $g ( x )$는 $x = p$에서 극댓값을 가지므로 $g' \left( p \right) = 0$에서 $2 a ( p - 2 ) ^{2} + 1 = 0$ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $n = 1$, $\displaystyle p = \frac{9}{4}$이므로 $a = - 8$ $f ( x ) = a ( x - m ) ^{2} + n = - 8 ( x - 2 ) ^{2} + 1$ 따라서 $\left| f ( - 1 ) \right| = 71$