절댓값 등비수열 합

[출제의도] 수열의 합을 이용하여 첫째항을 구한다. 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항이 양수, 공비가 음수이므로 $a _{2 n - 1} > 0$에서 $\left| a _{2 n - 1} \right| + a _{2 n - 1} = 2 a _{2 n - 1}$이고 $a _{2n} < 0$에서 $\left| a _{2 n} \right| + a _{2 n} = 0$이다. 수열 $\left\{ a _{2 n - 1} \right\}$은 첫째항이 $a _{1}$, 공비가 $\left( - 2 \right) ^{2} = 4$인 등비수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{9} \left( \left| a _{k} \right| + a _{k} \right)$$= 2 \left( a _{1} + a _{3} + a _{5} + a _{7} + a _{9} \right)$ $\displaystyle = 2 \times \frac{a _{1} \left( 4 ^{5} - 1 \right)}{4 - 1}$ $\displaystyle = \frac{2 \times 1023 \times a _{1}}{3}$ $= 682 a _{1}$ 따라서 $682 a _{1} = 66$이므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{3}{31}$