절댓값 최댓값 함수의 정적분

$f ( x ) = x ^{3} - 3 x - 1$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = \pm 1$ $f ( - 1 ) = 1$, $f ( 1 ) = - 3$이므로 $y = | f ( x ) |$의 그래프는 그림과 같다. $\displaystyle \therefore g ( t ) = {\begin{cases} 1 ( - 1 \leq t \leq 0 ) \\ - f ( t ) ( 0 \leq t \leq 1 ) \end{cases}}$ $\displaystyle \therefore \int _{- 1} ^{1} {} g ( t ) dt = \int _{- 1} ^{0} {} 1 dt + \int _{0} ^{1} {} - f ( t ) dt$ $\displaystyle = \left[ t \left] {}_{-1} ^{0} + \int _{0} ^{1} ( - t ^{3} + 3 t + 1 ) dt \right. \right.$ $\displaystyle = - ( - 1 ) + \left[ - \frac{1}{4} t ^{4} + \frac{3}{2} t ^{2} + t \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = 1 + \left( - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 1 \right) = \frac{13}{4}$ $\therefore p + q = 4 + 13 = 17$