대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절댓값 부등식 수열

문제

첫째항이 11, 공차가 33인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 부등식 ∣x−an∣≥∣x−an+1∣(n≥1)\left| x - a _{n} \right| \geq \left| x - a _{n + 1} \right| \left( n \geq 1 \right) 을 만족시키는 xx의 최솟값을 bnb _{n}이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

보 기
ㄱ. b1=a1+a22\displaystyle b _{1} = \frac{a _{1} + a _{2}}{2} ㄴ. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 공차가 32\displaystyle \frac{3}{2}인 등차수열이다. ㄷ. ∑n=110bn=160\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} b _{n} = 160

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 공차가 33인 등차수열이므로 an<an+1a _{n} < a _{n + 1}이다. 따라서 주어진 부등식에서 x≥an+an+12\displaystyle x \geq \frac{a _{n} + a _{n + 1}}{2}이므로 bn=an+an+12\displaystyle b _{n} = \frac{a _{n} + a _{n + 1}}{2}이다. ㄱ. b1=a1+a22\displaystyle b _{1} = \frac{a _{1} + a _{2}}{2} (참) ㄴ. bn=1+3(n−1)+1+3n2=3n−12\displaystyle b _{n} = \frac{1 + 3 \left( n - 1 \right) + 1 + 3 n}{2} = 3 n - \frac{1}{2}이므로 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 공차가 33인 등차수열이다. (거짓) ㄷ. ∑n=110bn=∑n=110(3n−12)=3×10×112−5=160\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} b _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 3 n - \frac{1}{2} \right) = 3 \times \frac{10 \times 11}{2} - 5 = 160(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

태그

#등차수열#절댓값 부등식#보기

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