절댓값 방정식 근의 곱

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 이해하기

$y = f \left( x \right)$ $y = - g \left( x \right)$ $y = \left| f \left( x \right) \right|$ $y = g \left( x \right)$

방정식 $\left| f \left( x \right) \right| = - g \left( x \right)$의 실근은 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$와 $y = - g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표이다. $\displaystyle \left| f ( x ) \right| = {\begin{cases} - f \left( x \right) & \left( x < 8 \right) _{{} _{\begin{aligned} \\ \end{aligned}}} ^{{} ^{} {}^{{}_{{} _{}}}} \\ f \left( x \right) & \left( x \geq 8 \right) _{{} _{}} ^{} \end{cases}}$이고 $y = - g \left( x \right)$의 그래프는 $y = g \left( x \right)$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 그래프이므로 $y = \left| f \left( x \right) \right|$와 $y = - g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다. $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 $y = - g \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = 8$에 대하여 대칭이므로 만나는 점의 $x$좌표는 $4$, $12$ $\therefore$방정식 $\left| f \left( x \right) \right| + g \left( x \right) = 0$의 근은 $x = 4$ 또는 $x = 12$ 따라서 모든 실근의 곱은 $48$