공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절대부등식 증명 빈칸

문제

다음은 임의의 두 실수 aa, bb와 p≥0p \geq 0, q≥0q \geq 0, p+q=1p + q = 1을 만족하는 pp, qq에 대하여 ∣ap+bq∣≤a2p+b2q\displaystyle | ap + bq | \leq \sqrt{a ^{2} p + b ^{2} q} 임을 증명한 것이다.

<증명> ∣ap+bq∣2−(a2p+b2q)2\displaystyle | ap + bq | ^{2} - \left( \sqrt{a ^{2} p + b ^{2} q} \right) ^{2} =a2p(p−1)+b2q= a ^{2} p ( p - 1 ) + b ^{2} q □(가)\square {( \text{가} )}+2abpq+ 2 abpq =□(나)p(p−1)= \square {( \text{나} )} p ( p - 1 ) p≥0p \geq 0, q≥0q \geq 0, p+q=1p + q = 1이므로 p(p−1)□(다)0p ( p - 1 ) \square {( \text{다} )} 0이다. 따라서 ∣ap+bq∣2−(a2p+b2q)2≤0\displaystyle | ap + bq | ^{2} - \left( \sqrt{a ^{2} p + b ^{2} q} \right) ^{2} \leq 0 그러므로 ∣ap+bq∣≤a2p+b2q\displaystyle | ap + bq | \leq \sqrt{a ^{2} p + b ^{2} q} 이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①(p−1)( p - 1 )(a+b)2( a + b ) ^{2}≤\leq
②(p−1)( p - 1 )−(a−b)2- ( a - b ) ^{2}≥\geq
③(q−1)( q - 1 )(a−b)2( a - b ) ^{2}≥\geq
④(q−1)( q - 1 )−(a+b)2- ( a + b ) ^{2}≥\geq
⑤(q−1)( q - 1 )(a−b)2( a - b ) ^{2}≤\leq
정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 무리식의 성질을 이용하여 실수의 대소관계 추론하기 ∣ap+bq∣2−(a2p+b2q)2\displaystyle \left| ap + bq \right| ^{2} - ( \sqrt{a ^{2} p + b ^{2} q ^{}} ) ^{2} =a2p2+2abpq+b2q2−(a2p+b2q)= a ^{2} p ^{2} + 2 abpq + b ^{2} q ^{2} - ( a ^{2} p + b ^{2} q ) =a2p(p−1)+b2q□(q−1)+2abpq= a ^{2} p ( p - 1 ) + b ^{2} q \square {( q - 1 ) ^{}} + 2 abpq 조건에서 p+q=1p + q = 1이므로 q=1−pq = 1 - p를 대입하면 =a2p(p−1)+b2(1−p)(−p)+2abp(1−p)= a ^{2} p ( p - 1 ) + b ^{2} ( 1 - p ) ( - p ) + 2 abp ( 1 - p ) =p(p−1)(a2+b2−2ab)= p ( p - 1 ) ( a ^{2} + b ^{2} - 2 ab ) =□(a−b)2p(p−1)= \square {( a - b ) ^{2}} p ( p - 1 ) 주어진 조건에서 p≥0p \geq 0, p−1=−q≤0p - 1 = - q \leq 0 이므로 p(p−1)□≤0p ( p - 1 ) \square {\leq} 0이고, (a−b)2≥0( a - b ) ^{2} \geq 0 (a−b)2p(p−1)≤0( a - b ) ^{2} p ( p - 1 ) \leq 0 ∴∣ap+bq∣≤a2p+b2q\displaystyle \therefore \left| ap + bq \right| ^{} \leq \sqrt{a ^{2} p + b ^{2} q}

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#절대부등식#증명 빈칸

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