절대부등식 보기

[출제의도] 여러 가지 절대부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a + b} = \frac{a + b}{ab} - \frac{4}{a + b}$$\displaystyle = \frac{( a + b ) ^{2} - 4 ab}{ab ( a + b )}$ $\displaystyle = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab ( a + b )} \geq 0$ (등호는 $a = b$일 때 성립) (참) ㄴ. $\displaystyle ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) ^{2} - ( \sqrt{a + b} ) ^{2} = a + b + 2 \sqrt{ab} - ( a + b )$$\displaystyle = 2 \sqrt{ab}$$> 0$ ∴ $\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}$ (참) ㄷ. $\displaystyle a + b \geq 2 \sqrt{ab}$, $\displaystyle b + c \geq 2 \sqrt{bc}$, $\displaystyle c + a \geq 2 \sqrt{ca}$ 각 변끼리 더하면 $\displaystyle 2 ( a + b + c ) \geq 2 ( \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} )$ ∴ $\displaystyle a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$ (등호는 $a = b = c$일 때 성립) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.