적분함수 보기

(ⅰ) $x < 1$일 때, $\displaystyle g ( x ) = \int _{- 1} ^{x} {( t - 1 ) f ( t ) dt}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{x} {( t - 1 ) ( - 1 ) dt}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{t ^{2}}{2} + t \right] _{- 1} ^{x}$ $\displaystyle = - \frac{x ^{2}}{2} + x + \frac{3}{2}$ (ⅱ) $x \geq 1$일 때, $\displaystyle g ( x ) = \int _{- 1} ^{x} {( t - 1 ) f ( t ) dt}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {( t - 1 ) ( - 1 ) dt} + \int _{1} ^{x} {( t - 1 ) ( - t + 2 ) dt}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{t ^{2}}{2} + t \right] _{- 1} ^{1} + \left[ - \frac{t ^{3}}{3} + \frac{3}{2} t ^{2} - 2 t \right] _{1} ^{x}$ $\displaystyle = - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{3}{2} x ^{2} - 2 x + \frac{17}{6}$ ㄱ. 구간 $( 1 , 2 )$에서 $g' ( x ) = - x ^{2} + 3 x - 2 = - ( x - 1 ) ( x - 2 )$에서 $g' ( x ) > 0$이므로 $g ( x )$는 증가한다. <참> ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {\frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1}} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {\frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1}} = 0$ 이므로 $x = 1$에서 미분가능하다. <참> ㄷ. $x < 1$일 때, $g' ( x ) = - x + 1$ $x > 1$일 때, $g' ( x ) = - ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이므로 $y = g ( x )$의 그래프는 아래 그림과 같다. 따라서 방정식 $g ( x ) = k$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 $k$가 존재하지 않는다.<거짓>

$y = g ( x )$

$\displaystyle \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{17}{6}$