적분으로 정의된 함수와 f(1)

$\displaystyle \int _{1} ^{x} ( x - t ) f ( t ) dt = x ^{4} + ax ^{2} - 10 x + 6$ ⋯⋯ ㉠ ㉠의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 1 + a - 10 + 6$ ∴ $a = 3$ ㉠의 식을 변형하면 $\displaystyle x \int _{1} ^{x} f ( t ) dt - \int _{1} ^{x} t f ( t ) dt = x ^{4} + 3 x ^{2} - 10 x + 6$ 위의 식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \int _{1} ^{x} {} f ( t ) dt + xf ( x ) - xf ( x ) = 4 x ^{3} + 6 x - 10$ 즉, $\displaystyle \int _{1} ^{x} f ( t ) dt = 4 x ^{3} + 6 x - 10$ 위의 식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f ( x )$$= 12 x ^{2} + 6$ ∴ $f ( 1 )$$= 12 + 6 = 18$