미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분으로 정의된 함수

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 ∫axf(t)dt=13x3−9\displaystyle \int _{a} ^{x} {} f \left( t \right) dt = \frac{1}{3} x ^{3} - 9 를 만족시킬 때, f(a)f \left( a \right)의 값을 구하시오. (단, aa는 실수이다.) [3점]

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9

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해설

[출제의도] 미분과 적분의 관계를 이해하여 함숫값을 구한다. ∫axf(t)dt=13x3−9\displaystyle \int _{a} ^{x} {f \left( t \right) dt} = \frac{1}{3} x ^{3} - 9에서 x=ax = a를 대입하면 0=13a3−9\displaystyle 0 = \frac{1}{3} a ^{3} - 9, aa는 실수이므로 a=3a = 3 ∫3xf(t)dt=13x3−9\displaystyle \int _{3} ^{x} {f \left( t \right) dt} = \frac{1}{3} x ^{3} - 9의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)=x2f \left( x \right) = x ^{2}이므로 f(a)=f(3)=9f \left( a \right) = f \left( 3 \right) = 9

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#정적분으로 정의된 함수

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