적분으로 정의된 함수

$f' \left( x \right) = \ln \left( e ^{\left| x \right|} - a \right)$ 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle f' \left( \ln \frac{3}{2} \right) = \ln \left( \frac{3}{2} - a \right) = 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ $\displaystyle f' \left( x \right) = \ln \left( e ^{\left| x \right|} - \frac{1}{2} \right)$ 모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( - x \right) = f' \left( x \right)$이므로 함수 $y = f' \left( x \right)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이고, $\displaystyle f' \left( 0 \right) = \ln \frac{1}{2} < 0$ $x > 0$일 때, $\displaystyle f'' \left( x \right) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} - \frac{1}{2}} > 0$ 함수 $y = f' \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

모든 실수 $x$에 대하여 $f' \left( - x \right) = f' \left( x \right)$이므로 $f \left( x \right) = - f \left( - x \right) + C \left( \right.$단, $C$는 적분상수 $\left. \right)$ $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $C = 0$ 그러므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( - x \right) = - f \left( x \right)$ $x \geq 0$에서 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$의 극솟값을 $m \left( m < 0 \right)$이라 하면, $\displaystyle f \left( \ln \frac{3}{2} \right) = m$ 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle f \left( - \ln \frac{3}{2} \right) = - f \left( \ln \frac{3}{2} \right) = - m$ $\displaystyle f \left( k \right) = - 6 m \left( k > \ln \frac{3}{2} \right)$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle \int _{0} ^{k} {} \frac{\left| f' \left( x \right) \right|}{f \left( x \right) - f \left( - k \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{k} {} \frac{\left| f' \left( x \right) \right|}{f \left( x \right) + f \left( k \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\ln \frac{3}{2}} {} \frac{- f' \left( x \right)}{f \left( x \right) + f \left( k \right)} dx + \int _{\ln \frac{3}{2}} ^{k} {} \frac{f' \left( x \right)}{f \left( x \right) + f \left( k \right)} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\ln \frac{3}{2}} {} \frac{- \left\{ f \left( x \right) + f \left( k \right) \right\}'}{f \left( x \right) + f \left( k \right)} dx$$\displaystyle + \int _{\ln \frac{3}{2}} ^{k} {} \frac{\left\{ f \left( x \right) + f \left( k \right) \right\}'}{f \left( x \right) + f \left( k \right)} dx$ $\displaystyle = - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \left| f \left( x \right) + f \left( k \right) \right| \end{array} \right] _{0} ^{\ln \frac{3}{2}}$$\displaystyle + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \left| f \left( x \right) + f \left( k \right) \right| \end{array} \right] _{\ln \frac{3}{2}} ^{k}$ $\displaystyle = - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \left\{ f \left( x \right) + f \left( k \right) \right\} \end{array} \right] _{0} ^{\ln \frac{3}{2}}$$\displaystyle + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln \left\{ f \left( x \right) + f \left( k \right) \right\} \end{array} \right] _{\ln \frac{3}{2}} ^{k}$ $= - \ln \left( m - 6 m \right) + \ln \left( 0 - 6 m \right)$$+ \ln \left( - 6 m - 6 m \right) - \ln \left( m - 6 m \right)$ $\displaystyle = \ln \frac{- 6 m}{- 5 m} + \ln \frac{- 12 m}{- 5 m} = \ln \frac{6}{5} + \ln \frac{12}{5} = \ln \frac{72}{25}$ 이므로 $\displaystyle p = \ln \frac{72}{25}$ 따라서 $\displaystyle 100 \times a \times e ^{p} = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{72}{25} = 144$