미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분 수열 계산

문제

[7∼8] 두 연속함수 f(x),g(x)f ( x ) , g ( x )에 대하여 두 수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}을 다음과 같이 정의하자. an=∫0nf(x)dx,bn=∫n−1ng(x)dx(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle a _{n} = \int _{0} ^{n} f ( x ) dx , b _{n} = \int _{n-1} ^{n} g ( x ) dx ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 다음 두 물음에 답하여라.

f(x)=x,g(x)=f(x)+1\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x} , g ( x ) = f ( x ) + 1일 때, a3+b4a _{3} + b _{4}의 값은? [3점] ①55②163\displaystyle \frac{16}{3}③173\displaystyle \frac{17}{3}④66⑤193\displaystyle \frac{19}{3}

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⑤

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해설

a3a _{3}=∫03xdx\displaystyle = \int _{0} ^{3} \sqrt{x} dx=[23xx]03=23\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right] _{0} ^{3} = 2 \sqrt{3} b4b _{4}=∫34(x+1)dx\displaystyle = \int _{3} ^{4} ( \sqrt{x} + 1 ) dx=[23xx+x]34\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} x \sqrt{x} + x \right] _{3} ^{4}=193−23\displaystyle = \frac{19}{3} - 2 \sqrt{3} ∴ a3+b4=193\displaystyle a _{3} + b _{4} = \frac{19}{3}

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#정적분#무리함수 적분

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