미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

적분 포함 함수의 미분

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 f(−x)=−f(x)f ( - x ) = - f ( x )를 만족시킨다. 함수 g(x)g ( x )를 g(x)=ddx∫−π2xcos⁡x⋅f(t)dt\displaystyle g ( x ) = \frac{d}{d x} \int _{- \frac{\pi}{2}} ^{x} {\cos x \cdot f ( t ) dt} 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. g(0)=0g ( 0 ) = 0 ㄴ. 모든 실수 xx에 대하여 g(−x)=−g(x)g ( - x ) = - g ( x )이다. ㄷ. g′(c)=0g' ( c ) = 0인 실수 cc가 개구간 (−π2,π2)\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)에서 적어도 두 개 존재한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

g(x)=−sin⁡x∫−π2xf(t)dt+cos⁡x⋅f(x)\displaystyle g ( x ) = - \sin x \int _{- \frac{\pi}{2}} ^{x} {} f ( t ) dt + \cos x \cdot f ( x ) ㄱ. g(0)g ( 0 )=0= 0 (∵f(0)=0f ( 0 ) = 0) (참) ㄴ. g(−x)=−sin⁡(−x)∫−π2−xf(t)dt+cos⁡(−x)⋅f(−x)\displaystyle g ( - x ) = - \sin ( - x ) \int _{- \frac{\pi}{2}} ^{- x} {} f ( t ) dt + \cos ( - x ) \cdot f ( - x ) =sin⁡x(∫−π2−xf(t)dt+∫−xxf(t)dt)−cos⁡x⋅f(x)\displaystyle = \sin x \left( \int _{- \frac{\pi}{2}} ^{- x} {} f ( t ) dt + \int _{- x} ^{x} {} f ( t ) dt \right) - \cos x \cdot f ( x ) =sin⁡x∫−π2xf(t)dt−cos⁡x⋅f(x)\displaystyle = \sin x \int _{- \frac{\pi}{2}} ^{x} {} f ( t ) dt - \cos x \cdot f ( x )=−g(x)- g ( x ) (참) ㄷ. g(−π2)=g(0)\displaystyle g \left( - \frac{\pi}{2} \right) = g ( 0 )이므로 평균값의 정리에 의해 (−π2,0)\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} , 0 \right)에서 g′(c)=0g' ( c ) = 0인 cc가 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 (0,π2)\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)에서 g′(c)=0g' ( c ) = 0인 cc가 적어도 하나 존재한다. (참)

태그

#정적분으로 정의된 함수#평균값 정리#보기

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 도함수의 활용 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로