미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분 포함 등식

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f \left( x \right)가 xf(x)=3x+a+∫0xtf′(t)dt\displaystyle xf \left( x \right) = 3 ^{x} + a + \int _{0} ^{x} {tf' \left( t \right) dt} 를 만족시킬 때, f(a)f \left( a \right)의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①ln⁡26\displaystyle \frac{\ln 2}{6}②ln⁡23\displaystyle \frac{\ln 2}{3}③ln⁡22\displaystyle \frac{\ln 2}{2}④ln⁡33\displaystyle \frac{\ln 3}{3}⑤ln⁡32\displaystyle \frac{\ln 3}{2}

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 이해하기 xf(x)=3x+a+∫0xtf′(t)dt\displaystyle xf \left( x \right) = 3 ^{x} + a + \int _{0} ^{x} {tf' \left( t \right) dt}의 양변에 x=0x = 0을 대입하면 0=1+a0 = 1 + a ∴\therefore a=−1a = \mathit{-} 1 xf(x)=3x−1+∫0xtf′(t)dt\displaystyle xf \left( x \right) = 3 ^{x} - 1 + \int _{0} ^{x} {tf' \left( t \right) dt}의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)+xf′(x)=3xln⁡3+xf′(x)f \left( x \right) + xf' \left( x \right) = 3 ^{x} \ln 3 + xf' \left( x \right) ∴\therefore f(x)=3xln⁡3f \left( x \right) = 3 ^{x} \ln 3 따라서 f(−1)=ln⁡33\displaystyle f \left( - 1 \right) = \frac{\ln 3}{3}

태그

#정적분으로 정의된 함수#지수함수 미분

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