적분 조건 삼각함수

$\displaystyle \int _{x} ^{x + a} {f \left( t \right) dt} = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ 의 양변을 미분하면 $\displaystyle f \left( x + a \right) - f \left( x \right) = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ …㉠ 위의 식에 $x$ 대신에 $\displaystyle - \frac{a}{2}$를 대입하면 $f \left( x \right) = f \left( - x \right)$ 이므로 $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{3} - \frac{a}{2} \right) = 0$ $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin \frac{a}{2} = 0$ $\displaystyle \tan \frac{a}{2} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle \frac{a}{2} = \frac{5}{6} \pi$ ($\because 0 < a < 2 \pi$) ∴ $\displaystyle a = \frac{5}{3} \pi$ (나)식에 $\displaystyle x = - \frac{a}{2}$을 대입하면 $\displaystyle \int _{- \frac{a}{2}} ^{\frac{a}{2}} {f \left( t \right) dt} = \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{a}{2} \right)$ $\displaystyle 2 \int _{0} ^{\frac{a}{2}} {f \left( t \right) dt} = \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{a}{2} \right)$ $\displaystyle 2 \left[ \frac{b}{3} \sin 3 x + \frac{c}{5} \sin 5 x \right] _{0} ^{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sin \frac{a}{2}$ 위의 식에 $\displaystyle a = \frac{5}{3} \pi$를 대입하면 $\displaystyle 2 \left\{ \frac{b}{3} \sin \frac{5}{2} \pi + \frac{c}{5} \sin \frac{25}{6} \pi \right\} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{5}{6} \pi - \frac{1}{2} \sin \frac{5}{6} \pi$ 위의 식을 정리하면 $\displaystyle \frac{2}{3} b + \frac{1}{5} c = - 1$ …㉡ 한편, ㉠에 $\displaystyle a = \frac{5}{3} \pi$를 대입하면 $\displaystyle f \left( x + \frac{5}{3} \pi \right) - f \left( x \right) = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ 양변을 미분하면 $\displaystyle f' \left( x + \frac{5}{3} \pi \right) - f' \left( x \right) = - \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ 위의 식에 $x$ 대신에 $\displaystyle - \frac{5}{6} \pi$를 대입하면 $f' \left( x \right) = - f' \left( - x \right)$ 이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{5}{6} \pi \right) - f' \left( - \frac{5}{6} \pi \right) = - \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right)$ $\displaystyle 2 f' \left( \frac{5}{6} \pi \right) = 1$ ∴ $\displaystyle f' \left( \frac{5}{6} \pi \right) = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \left[ 0 , \frac{5}{6} \pi \right]$에서 $f' \left( x \right) = - 3 b \sin 3 x - 5 c \sin 5 x$ 위의 식에 $\displaystyle x = \frac{5}{6} \pi$를 대입하면 $\displaystyle f' \left( \frac{5}{6} \pi \right) = - 3 b - \frac{5}{2} c = \frac{1}{2}$ …㉢ $\text{㉡}$과 $\text{㉢}$을 연립하면 $\displaystyle b = - \frac{9}{4} , c = \frac{5}{2}$ ∴$\displaystyle abc = \frac{5}{3} \pi \cdot \left( - \frac{9}{4} \right) \cdot \frac{5}{2} = - \frac{75}{8} \pi$ 이므로 $p = 8 , q = 75$ ∴ $p + q = 83$ [다른풀이] $f ( x )$가 $y$축 대칭함수이므로 (나)식의 $x$에 $0$과 $- a$를 대입하면 다음과 같다. $\displaystyle \int _{0} ^{a} {} f ( t ) dt = \sin \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \int _{- a} ^{0} {} f ( t ) dt = \sin \left( - a + \frac{\pi}{3} \right)$ $0 < a < 2 \pi$에서 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} = \sin \left( - a + \frac{\pi}{3} \right)$ $\displaystyle \frac{\pi}{3} - a + \frac{\pi}{3} = - \pi$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{5 \pi}{3}$