적분 조건 다항함수 미분계수

1) 조건Ⅱ.에서 양변을 $x$에 관하여 미분하면 $\displaystyle \begin{aligned} f' ( x ) & = \frac{1}{2} \left\{ f ( x + 1 ) - f ( x ) \right\} - \frac{1}{2} \left\{ f ( x - 1 ) - f ( x ) \right\} \end{aligned}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ f ( x + 1 ) - f ( x - 1 ) \right\}$ $\displaystyle \therefore f' ( 1 ) = \frac{1}{2} \left\{ f ( 2 ) - f ( 0 ) \right\} \cdots \cdots \cdots \text{①}$ 2) 조건Ⅰ. 과 Ⅱ.에서 임의의 실수$x , y$에 대하여 $f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 \left\{ f ( x ) + f ( y ) \right\}$가 성립하므로 ⅰ) $x = 1 , y = 0$을 대입하면 $f ( 1 ) + f ( 1 ) = 2 \left\{ f ( 1 ) + f ( 0 ) \right\} \therefore f ( 0 ) = 0 \cdots \cdots \text{ ②}$ ⅱ) $x = 1 , y = 1$을 대입하면 $\begin{aligned} & f ( 2 ) + f ( 0 ) = 2 \left\{ f ( 1 ) + f ( 1 ) \right\} \end{aligned}$ $\therefore f ( 2 ) = 4 f ( 1 ) = 100 \cdots \cdots \text{ ③}$ ①, ②, ③에서 $f' ( 1 ) = 50$