적분 조건 다항함수

조건 (가)에서 주어진 식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $x \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) \right\} = 12 x ^{3} + 24 x ^{2} - 6 x$ $f \left( x \right) + g \left( x \right) = 12 x ^{2} + 24 x - 6$ 조건 (나)에서 $f \left( x \right) = xg' \left( x \right)$이므로 $xg' \left( x \right) + g \left( x \right) = 12 x ^{2} + 24 x - 6$ 이때 $xg' \left( x \right) + g \left( x \right) = \left\{ xg \left( x \right) \right\}'$이므로 위 식의 양변을 적분하면 $xg \left( x \right) = 4 x ^{3} + 12 x ^{2} - 6 x + C$ ($C$는 적분상수) 양변에 $x = 0$을 대입하면 $C = 0$ $xg \left( x \right) = 4 x ^{3} + 12 x ^{2} - 6 x$에서 $g \left( x \right) = 4 x ^{2} + 12 x - 6$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left( 4 x ^{2} + 12 x - 6 \right) dx$$\displaystyle = \left[ \frac{4}{3} x ^{3} + 6 x ^{2} - 6 x \right] _{0} ^{3}$ $= 72$