적분 정의 함수 보기

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 이용하여 조건을 만족시키는 함수의 성질을 추론한다. ㄱ. 조건 (가)에서 $g ( x )$$\displaystyle = ( x + 1 ) \int _{1} ^{x} {f' ( t ) dt - \int _{1} ^{x} {tf' ( t ) dt}}$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' ( x )$$\displaystyle = \int _{1} ^{x} {f' ( t ) dt + ( x + 1 ) f' ( x ) - xf' ( x )}$ $\displaystyle = \int _{1} ^{x} {f' ( t ) dt + f' ( x )}$ 따라서 $\displaystyle g' ( 1 ) = f' ( 1 ) = \frac{1}{e}$ (참) ㄴ. 조건 (가)에서 $\displaystyle g ( x ) = \int _{1} ^{x} {f' ( t ) ( x + 1 - t ) dt}$의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $g ( 1 ) = 0$ 조건 (나)에서 $f ( x )$$= g' ( x ) - f' ( x )$ $\displaystyle = \int _{1} ^{x} {f' ( t ) dt}$ 이므로 $x = 1$을 대입하면 $f ( 1 ) = 0$ 따라서 $g ( 1 ) = f ( 1 )$ (참) ㄷ. $h ( x ) = g ( x ) - f ( x )$라 하면 ㄴ에 의하여 $h ( 1 )$$= g ( 1 ) - f ( 1 )$$= 0$ $h' ( x ) = g' ( x ) - f' ( x )$$= f ( x )$ $h' ( 1 ) = f ( 1 ) = 0$ $h'' ( x ) = f' ( x ) = xe ^{- x ^{2}}$ $x > 0$에서 $h'' ( x ) > 0$이므로 $0 < x < 1$에서 $h' ( x ) < 0$이고, $x > 1$에서 $h' ( x ) > 0$ $x > 0$에서 함수 $h ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x > 0$에서 함수 $h ( x )$의 최솟값이 $0$이므로 모든 양수 $x$에 대하여 $h ( x )$$= g ( x ) - f ( x )$$\geq 0$이므로 $g ( x ) < f ( x )$인 양수 $x$가 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.