적분 절댓값 그래프 보기 판정

$F' ( x ) = f ( x )$라 하면 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( x ) dx = F ( x ) - F ( 0 )$ $F ( x ) - F ( 0 ) = h ( x )$라 하자. $f ( 0 ) > 0$이므로 $x = 0$의 가까운 오른쪽에서 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( x ) dx > 0$ 따라서 $y = h ( x )$와 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. (참) 방정식 $f ( x ) = 0$은 구간 $( 0 , 2 )$, $( 2 , 5 )$, $( 5 , 8 )$에서 각각 실근을 갖는다. ㄴ. (참) $x = 0$에서 감소 상태에 있으므로 $f' ( 0 ) < 0$ ㄷ. (참) $h ( x ) = kx ( x - 2 ) ( x - 5 ) ( x - 8 ) ( k < 0 )$이라 할때 $\displaystyle \int _{m} ^{m+2} f ( x ) dx = h ( m + 2 ) - h ( m )$이므로 $m = 1$일 때, $h ( 3 ) - h ( 1 ) = 58 k < 0$ $m = 2$일 때, $h ( 4 ) - h ( 2 ) = 32 k < 0$ $m = 3$일 때, $h ( 5 ) - h ( 3 ) = - 30 k > 0$ $m = 4$일 때, $h ( 6 ) - h ( 4 ) = - 80 k > 0$ $m = 5$일 때, $h ( 7 ) - h ( 5 ) = - 70 k > 0$ $m = 6$일 때, $h ( 8 ) - h ( 6 ) = 48 k < 0$ $m = 7$일 때, $h ( 9 ) - h ( 7 ) = 322 k < 0$ $m \geq 8$일 때, $h ( m + 2 ) - h ( m ) < 0$ 따라서 $\displaystyle \int _{m} ^{m + 2} {} f ( x ) dx > 0$을 만족시키는 자연수 $m$은 $3 , 4 , 5$로써 $3$개이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. [다른 풀이]

[그림 1]

[그림 2]

$\displaystyle h ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t )} dt$라 하면 $h ( x )$는 사차함수이므로 위 두 그림중 하나이다. $f ( x ) = h' ( x )$이므로 두 그림 중 $f ( 0 ) = h' ( 0 ) > 0$을 만족하는 경우는 위의 [그림 2]이다. 따라서 $y = f ( x )$의 그래프는 아래와 같다.

ㄱ. $y = h ( x )$는 $3$개의 극점을 가지는 사차함수이므로 $f ( x ) = h' ( x ) = 0$은 서로 다른 $3$개의 실근을 갖는다. ㄴ. $f' ( 0 ) < 0$ ㄷ. $\displaystyle \int _{m} ^{m + 2} {f ( x )} dx = h ( m + 2 ) - h ( m )$이다. $h ( 2 ) = 0 = h ( 0 )$ $\therefore h ( 2 ) - h ( 0 ) = 0$ $h ( 3 ) < 0 < h ( 1 )$ $\therefore h ( 3 ) - h ( 1 ) < 0$ $h ( 4 ) < 0 = h ( 2 )$ $\therefore h ( 4 ) - h ( 2 ) < 0$ $h ( 5 ) = 0 > h ( 3 )$ $\therefore h ( 5 ) - h ( 3 ) > 0$ $h ( 6 ) > 0 > h ( 4 )$ $\therefore h ( 6 ) - h ( 4 ) > 0$ $h ( 7 ) > 0 = h ( 5 )$ $\therefore h ( 7 ) - h ( 5 ) > 0$ $h ( 8 ) = 0 < h ( 6 )$ $\therefore h ( 8 ) - h ( 6 ) < 0$ $h ( 9 ) < 0 < h ( 7 )$ $\therefore h ( 9 ) - h ( 7 ) < 0$ $m \geq 8$이면 $h ( m + 2 ) < h ( m )$이므로 $h ( m + 2 ) > h ( m )$을 만족하는 자연수 $m$은 $m = 3 , 4 , 5$의 3개이다.