적분 함수와 교점 개수

함수 $f ( x )$는 일차함수이므로 함수 $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} ( x - 2 ) f ( s ) ds$는 삼차함수이다. $\displaystyle g ( x ) = ( x - 2 ) \int _{0} ^{x} {f ( s ) ds = 0}$에서 $g ( 2 ) = g ( 0 ) = 0$이므로 $g ( x ) = 0$의 세 근을 $x = 0 , 2 , \alpha$라 하자. 이때 $y = tx$는 $( 0 , 0 )$을 지나는 직선이므로 함수 $h ( t )$가 $t = 0$에서 불연속이기 위해서는 $y = g ( x )$는 $x$축에 접해야 한다. 따라서 $\alpha = 0$ 또는 $\alpha = 2$이다. (ⅰ) $g ( x ) = mx ^{2} ( x - 2 )$일 때 $m$이 양수일 때와 음수일 때를 나누어 $y = g ( x )$와 $y = tx$를 그려보면 다음과 같다. $m > 0$일 때

이때의 $t$의 값은 $- 2$가 되어야 하고 $y = g ( x )$와 $y = tx$의 교점은 $( 1 , - 2 )$이다. $\therefore$ $g ( x ) = 2 x ^{2} ( x - 2 )$, $g ( 4 ) = 64$ $m < 0$일 때

$g ( x )$가 $x = 0$에서 $x$축에 접하므로 $t = \mathit{-} 2$일 때 불연속이 될 수 없다. (ⅱ) $y = m x ( x - 2 ) ^{2}$일 때 $m > 0$일 때

$g ( x )$가 $x = 2$에서 $x$축에 접하므로 $t = \mathit{-} 2$일 때 불연속이 될 수 없다. $m < 0$일 때

마찬가지로 이때의 $t$의 값은 $- 2$이므로 $g' ( x ) = m ( x - 2 ) ^{2} + 2 mx ( x - 2 )$ $g' ( 0 ) = 4 m = \mathit{-} 2$, $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{1}{2}$이므로 $g ( 4 ) = \mathit{-} 8$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $g ( 4 )$의 값의 합은 $64 - 8 = 56$