미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

적분 함수의 역함수 미분

문제

함수 f(x)f ( x )를 f(x)=∫ax{2+sin⁡(t2)}dt\displaystyle f ( x ) = \int _{a} ^{x} \{ 2 + \sin ( t ^{2} ) \} dt라 하자. f′′(a)=3a\displaystyle f'' ( a ) = \sqrt{3} a일 때, (f−1)′(0)( f ^{- 1} )' ( 0 )의 값은? (단, aa는 0<a<π2\displaystyle 0 < a < \sqrt{\frac{\pi}{2}}인 상수이다.) [4점] ①110\displaystyle \frac{1}{10}②15\displaystyle \frac{1}{5}③310\displaystyle \frac{3}{10}④25\displaystyle \frac{2}{5}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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④

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해설

f(x)=∫ax{2+sin⁡(t2)}dt\displaystyle f ( x ) = \int _{a} ^{x} \{ 2 + \sin ( t ^{2} ) \} dt에서 f′(x)=2+sin⁡x2f' ( x ) = 2 + \sin x ^{2}이고 f′′(x)=cos⁡x2(2x)=2xcos⁡x2f'' ( x ) = \cos x ^{2} ( 2 x ) = 2 x \cos x ^{2}이다. 이때 f′′(a)=2acos⁡a2=3a\displaystyle f'' ( a ) = 2 a \cos a ^{2} = \sqrt{3} a에서 cos⁡a2=32\displaystyle \cos a ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} ∴ a2=π6\displaystyle a ^{2} = \frac{\pi}{6} 한편, f−1(0)=bf ^{-1} ( 0 ) = b로 놓으면 f(b)=∫ab{2+sin⁡(t2)}dt=0\displaystyle f ( b ) = \int _{a} ^{b} \{ 2 + \sin ( t ^{2} ) \} dt = 0에서 b=ab = a이다. 이때 f′(b)=f′(a)=2+sin⁡a2f' ( b ) = f' ( a ) = 2 + \sin a ^{2}=2+sin⁡π6=52\displaystyle = 2 + \sin \frac{\pi}{6} = \frac{5}{2}이므로 (f−1)′(0)=1f′(b)=25\displaystyle ( f ^{-1} )' ( 0 ) = \frac{1}{f' ( b )} = \frac{2}{5}

태그

#역함수의 미분법#정적분으로 정의된 함수

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