적분 함수 미분가능성

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 문제를 해결한다. $f ( x )$가 최고차항의 계수가 $4$인 삼차함수이므로 $\displaystyle g ( x ) = \int _{t} ^{x} f ( s ) ds$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이고 실수 전체의 집합에서 함수 $g ( x ) - g ( a )$는 미분가능하다. $g ( x ) \geq g ( a )$일 때, $\left| g ( x ) - g ( a ) \right| = g ( x ) - g ( a )$ $g ( x ) < g ( a )$일 때, $\left| g ( x ) - g ( a ) \right| = \mathit{-} \left\{ g ( x ) - g ( a ) \right\}$ 이므로 함수 $\left| g ( x ) - g ( a ) \right|$은 $g ( x ) - g ( a ) \ne 0$인 모든 $x$에서 미분가능하다. $g ( x ) - g ( a ) = 0$를 만족시키는 $x$의 값을 $k$라 하면, $g ( k ) = g ( a )$이므로 $\displaystyle \frac{\left| g ( x ) - g ( a ) \right| - \left| g ( k ) - g ( a ) \right|}{x - k} = \frac{\left| g ( x ) - g ( k ) \right|}{x - k}$ (ⅰ) $x = k$의 좌우에서 $g ( x ) - g ( a )$의 부호가 같을 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} \frac{\left| g ( x ) - g ( k ) \right|}{x - k} = \lim\limits _{x \rightarrow k +} \frac{\left| g ( x ) - g ( k ) \right|}{x - k}$ 이므로 함수 $\left| g ( x ) - g ( a ) \right|$는 $x = k$에서 미분가능하다. (ⅱ) $x = k$의 좌우에서 $g ( x ) - g ( a )$의 부호가 다르고 $f ( k ) = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} \frac{\left| g ( x ) - g ( k ) \right|}{x - k} = \lim\limits _{x \rightarrow k +} \frac{\left| g ( x ) - g ( k ) \right|}{x - k}$ 이므로 함수 $\left| g ( x ) - g ( a ) \right|$는 $x = k$에서 미분가능하다. (ⅲ) $x = k$의 좌우에서 $g ( x ) - g ( a )$의 부호가 다르고 $f ( k ) \ne 0$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} \frac{\left| g ( x ) - g ( a ) \right|}{x - k} \ne \lim\limits _{x \rightarrow k +} \frac{\left| g ( x ) - g ( a ) \right|}{x - k}$ 이므로 함수 $\left| g ( x ) - g ( a ) \right|$는 $x = k$에서 미분가능하지 않다. (나)에서 함수 $\left| g ( x ) - g ( a ) \right|$가 미분가능하지 않은 $x$의 개수가 $1$이므로 $g ( x ) - g ( a ) = 0$, $g' ( x ) = f ( x ) \ne 0$ 인 $x$가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 사차함수 $y = g ( x )$는 단 하나의 극솟값을 갖고 함수 $g ( x )$의 그래프와 직선 $y = g ( a )$는 서로 다른 두 점에서 만난다. $g' ( x ) = 0$인 방정식 $g ( x ) - g ( a ) = 0$의 근을 $\alpha$, 함수 $g ( x )$가 극솟값을 가질 때의 $x$의 값을 $\beta$라 하면 $\alpha$, $\beta$의 대소관계에 따라 다음과 같이 두 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) $\alpha < \beta$인 경우 (단, $g ( \gamma ) = g ( \alpha )$, $\beta < \gamma$)

함수 $y = g ( x )$의 도함수 $y = f ( x )$의 그래프를 그려 보면

$g ( \alpha ) = g ( \gamma ) = g ( a )$이므로 $\alpha = a$ 또는 $\gamma = a$ (가)에서 $f' ( a ) = 0$이므로 $\alpha = a$이다. 따라서 $f ( x ) = 4 \left( x - a \right) ^{2} \left( x - \beta \right)$이다. $\displaystyle h ( t ) = g ( a ) = \int _{t} ^{a} {f ( s )} ds$$\displaystyle = \mathit{-} \int _{a} ^{t} f ( s ) ds$에서 $h' ( t ) = \mathit{-} f ( t )$ 함수 $h ( t )$가 $t = 2$에서 최댓값, 즉 극댓값을 가지므로 $h' ( 2 ) = \mathit{-} f ( 2 ) = 0$ 따라서 $a = 2$ 또는 $\beta = 2$이다. $a = 2$이면 $\displaystyle h ( 2 ) = \int _{2} ^{2} {f ( t )} d t = 0 \ne 27$ 이므로 $a \ne 2$ $\beta = 2$이면 $\displaystyle h ( 3 ) = \int _{3} ^{a} {f ( s )} ds = 0$이고, $\displaystyle h ( 2 ) = \int _{2} ^{a} {f ( s )} ds = 27$이므로 $\displaystyle h ( 2 ) - h ( 3 ) = \int _{2} ^{3} {f ( s )} ds = 27$이다. $\displaystyle \int _{2} ^{3} {f ( s )} ds$$\displaystyle = \int _{2} ^{3} {4 \left( s - a \right) ^{2} \left( s - 2 \right)} ds$ $\displaystyle = \int _{2} ^{3} {4 \left\{ s ^{3} - 2 \left( a + 1 \right) s ^{2} + \left( a ^{2} + 4 a \right) s - 2 a ^{2} \right\}} ds$ $\displaystyle = \left[ s ^{4} - \frac{8}{3} \left( a + 1 \right) s ^{3} + 2 \left( a ^{2} + 4 a \right) s ^{2} - 8 a ^{2} s \right] _{2} ^{3}$ $\displaystyle = 65 - \frac{152}{3} \left( a + 1 \right) + 10 \left( a ^{2} + 4 a \right) - 8 a ^{2}$ $\displaystyle = 2 a ^{2} - \frac{32}{3} a + \frac{43}{3}$$= 27$ 이므로 $3 a ^{2} - 16 a - 19 = 0$ $\left( a + 1 \right) \left( 3 a - 19 \right) = 0$ $a = \mathit{-} 1$ 또는 $\displaystyle a = \frac{19}{3}$ $a < 2$이므로 $a = \mathit{-} 1$이다. $f ( x ) = 4 \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right)$라 하면 함수 $f ( x )$는 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅱ) $\alpha > \beta$인 경우 (단, $g ( \gamma ) = g ( \alpha )$, $\gamma < \beta$)

함수 $y = g ( x )$의 도함수 $y = f ( x )$의 그래프를 그려 보면

(가)에서 $f' ( a ) = 0$이므로 $\alpha = a$이다. 따라서 $f ( x ) = 4 \left( x - a \right) ^{2} \left( x - \beta \right)$이다. $\alpha < \beta$인 경우와 마찬가지로 $\beta = 2$이다. $f ( x ) = 4 \left( x - a \right) ^{2} \left( x - 2 \right)$ $a \ne 3$이면 $\displaystyle h ( 3 ) = \int _{3} ^{a} f ( s ) ds \ne 0$이므로 $a = 3$ 따라서 $f ( x ) = 4 \left( x - 3 \right) ^{2} \left( x - 2 \right)$이고 $h ( 2 )$$\displaystyle = \int _{2} ^{a} f ( s ) ds$$\displaystyle = \int _{2} ^{3} 4 \left( s - 3 \right) ^{2} \left( s - 2 \right) ds$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ $h ( 2 ) \ne 27$이므로 주어진 조건을 만족시키는 함수 $f ( x )$가 존재하지 않는다. 따라서 $f ( x ) = 4 \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right)$이다. $f ( 5 ) = 4 \times 36 \times 3 = 432$