미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분 함수 증가 조건

문제

함수 f(x)=−x2−4x+af ( x ) = \mathit{-} x ^{2} - 4 x + a에 대하여 함수 g(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt} 가 닫힌구간 [0,1]\left[ 0 , 1 \right]에서 증가하도록 하는 실수 aa의 최솟값을 구하시오. [4점]

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해설

f(x)=−x2−4x+af ( x ) = \mathit{-} x ^{2} - 4 x + a, g(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}에서 g′(x)=f(x)g' ( x ) = f ( x )=−x2−4x+a= - x ^{2} - 4 x + a=−(x+2)2+a+4= - ( x + 2 ) ^{2} + a + 4

함수 g(x)g ( x )가 닫힌 구간 [0,1][ 0 , 1 ]에서 증가해야 하므로 g′(1)=a−5≥0g' ( 1 ) = a - 5 \geq 0 즉, a≥5a \geq 5이어야 한다. 따라서 aa의 최솟값은 55이다.

태그

#정적분으로 정의된 함수#증가

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