미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분 함수 회전체

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} \begin{aligned} 2 x \\ \end{aligned} & \begin{aligned} ( 0 \leq x < 1 ) \\ \end{aligned} \\ 2 & ( x \geq 1 ) \end{cases}$ 에 대하여 함수 $g ( x )$ 를 $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ ( $x \geq 0$ ) 이라 하자. 곡선 $y = g ( x )$ 와 $x$ 축 및 직선 $x = 2$ 로 둘러싸인 부분을 $x$ 축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 $\displaystyle \frac{q}{p} \pi$ 일 때, $q - p$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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53

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$0 \leq x < 1$ 일 때, $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {2 t dt = x ^{2}}$ $x \geq 1$ 일 때, $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{1} {2 t dt + \int _{1} ^{x} {2 dt = 2 x - 1}}$ $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} x ^{2} & ( 0 \leq x < 1 ) \\ 2 x - 1 & ( x \geq 1 ) \end{cases}}$ $\displaystyle V = \pi \int _{0} ^{1} {( x ^{2} ) ^{2} dx +} \pi \int _{1} ^{2} {( 2 x - 1 ) ^{2} dx}$ $\displaystyle = \frac{68}{15} \pi$ $\therefore$ $q - p = 53$

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