적분 함수 합성

[출제의도] 치환적분법과 로그의 적분법을 활용하여 실수 $a$의 값을 구할 수 있는가? $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\frac{1}{1 + e ^{- t}} dt}$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {\frac{e ^{t}}{1 + e ^{t}} dt}$ 에서 $1 + e ^{t} = s$로 놓으면 $\displaystyle e ^{t} = \frac{ds}{dt}$ 이고, $t = 0$일 때 $s = 2$이고, $t = x$일 때 $s = 1 + e ^{x}$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{2} ^{1 + e ^{x}} {\frac{1}{s} ds}$ $= \left[ \ln s \right] _{2} ^{1 + e ^{x}}$ $= \ln \left( 1 + e ^{x} \right) - \ln 2$ $\displaystyle = \ln \frac{1 + e ^{x}}{2}$ $\left( f \circ f \right) \left( a \right)$$= f \left( f \left( a \right) \right)$ $\displaystyle = f \left( \ln \frac{1 + e ^{a}}{2} \right)$ $\displaystyle = \ln \frac{1 + e ^{\ln \frac{1 + e ^{a}}{2}}}{2}$ 이때, $\displaystyle e ^{\ln \frac{1 + e ^{a}}{2}} = \left( \frac{1 + 2 ^{a}}{2} \right) ^{\ln e} = \frac{1 + e ^{a}}{2}$ 이므로 $\left( f \circ f \right) \left( a \right)$$\displaystyle = \ln \frac{1 + e ^{\ln \frac{1 + e ^{a}}{2}}}{2}$ $\displaystyle = \ln \frac{1 + \frac{1 + e ^{a}}{2}}{2}$ $\displaystyle = \ln \frac{3 + e ^{a}}{4}$ 한편, $\left( f \circ f \right) \left( a \right) = \ln 5$이므로 $\displaystyle \ln \frac{3 + e ^{a}}{4} = \ln 5$ 이때, $y = \ln x$는 일대일 함수이므로 $\displaystyle \frac{3 + e ^{a}}{4} = 5$, $e ^{a} = 17$ 따라서 $a = \ln 17$