적분 함수 보기

ㄱ. $\displaystyle g ( 0 ) = \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx} - \int _{0} ^{1} {\left| {}^{f(x)} \right| dx} = 0$이므로 구간 $( 0 , 1 )$에서 $f ( x ) > 0$이다.

$\displaystyle g ( - 1 ) = \int _{- 1} ^{0} {f ( x ) dx} - \int _{0} ^{1} {\left| {}^{f(x)} \right| dx}$ 위의 그래프에서 $\displaystyle \int _{- 1} ^{0} {f ( x ) dx} < 0$이므로 음수 빼기 양수는 음수 이므로 $g ( - 1 ) < 0$ (참) ㄴ. $g ( - 1 ) > 0$이면 ㄱ의 결과에 반대이므로 구간 $( 0 , 1 )$에서 $f ( x ) < 0$이다.

$\displaystyle g ( - 1 ) = \int _{- 1} ^{0} {f ( x ) dx} - \int _{0} ^{1} {\left| {} ^{} f ( x ) \right| dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{0} {f ( x ) dx} + \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {f ( x ) dx} = \int _{- 1} ^{1} {x ( x - 1 ) ( x - k ) dx}$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {- ( k + 1 ) x ^{2} dx}$ $\displaystyle = - 2 \left[ \frac{k + 1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{1} = - \frac{2 ( k + 1 )}{3}$ $\displaystyle \therefore g ( - 1 ) = - \frac{2 ( k + 1 )}{3} > 0$이므로 $k < - 1$을 만족한다. (참) ㄷ. $g ( - 1 )$이 양수이면 ㄴ에서의 그래프와 같으므로 $\displaystyle g ( - 1 ) = - \frac{2 ( k + 1 )}{3} > 1$에서 $\displaystyle k < - \frac{5}{2}$ $\displaystyle g ( 0 ) = 2 \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx} = 2 \int _{0} ^{1} {x ( x - 1 ) ( x - k ) dx}$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {} \left\{ x ^{3} - ( k + 1 ) x ^{2} + kx \right\} dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{k + 1}{3} x ^{3} + \frac{k}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{4} - \frac{k + 1}{3} + \frac{k}{2} \right) = 2 \times \frac{3 - 4 k - 4 + 6 k}{12}$ $\displaystyle = \frac{2 k - 1}{6}$ $\displaystyle k < - \frac{5}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{2 k - 1}{6} < \frac{2 \times \left( - \frac{5}{2} \right) - 1}{6} = - 1$ (참)