적분 관계식과 부분적분

[출제의도] 주어진 조건과 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? $\displaystyle f ( x ) = \frac{\pi}{2} \int _{1} ^{x + 1} {f ( t ) dt}$ ……… ㉠ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{\pi}{2} f ( x + 1 )$이므로 $\displaystyle f ( x + 1 ) = \frac{2}{\pi} f' ( x )$ $\displaystyle \pi ^{2} \int _{0} ^{1} {xf ( x + 1 ) dx = \pi ^{2} \int _{0} ^{1} {{x \times \frac{2}{\pi} f' ( x )} dx = 2 \pi \int _{0} ^{1} {xf' ( x ) dx}}}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xf' ( x ) dx}$에서 $u = x , v' = f' ( x )$로 놓으면 $u' = 1 , v = f ( x )$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {xf' ( x ) dx} = \left[ xf ( x ) \right] _{0} ^{1} - \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx} = f ( 1 ) - \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}$ 한편, 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로 $f ( 1 ) = 1$에서 $f ( - 1 ) = - 1$이다. $\displaystyle - 1 = f ( - 1 ) = \frac{\pi}{2} \int _{0} ^{1} {f ( t ) dt}$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( t ) dt = \frac{2}{\pi}}$ $\displaystyle \therefore \pi ^{2} \int _{0} ^{1} {xf ( x + 1 ) dx = 2 \pi \times {f ( 1 ) - \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}}}$ $\displaystyle = 2 \pi \times ( 1 - \frac{2}{\pi} ) = 2 ( \pi - 2 )$