미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분 등식 함수 결정

문제

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 ∫1x(x−t)f(t)dt=ex−1+ax2−3x+1\displaystyle \int _{1} ^{x} {( x - t ) f ( t ) dt} = e ^{x - 1} + ax ^{2} - 3 x + 1 을 만족시킬 때, f(a)f ( a )의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①−3- 3②−1- 1③00④11⑤33

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⑤

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해설

주어진 등식에 x=1x = 1을 대입하면 0=1+a−3+10 = 1 + a - 3 + 1 이므로 a=1a = 1 주어진 등식을 변형하여 미분하면 x∫1xf(t)dt−∫1xtf(t)dt=ex−1+ax2−3x+1\displaystyle x \int _{1} ^{x} f ( t ) dt - \int _{1} ^{x} t f ( t ) dt = e ^{x-1} + ax ^{2} - 3 x + 1 ∫1xf(t)dt+xf(x)−xf(x)=ex−1+2ax−3\displaystyle \int _{1} ^{x} f ( t ) dt + x f ( x ) - x f ( x ) = e ^{x-1} + 2 ax - 3 미분하면 f(x)=ex−1+2af ( x ) = e ^{x-1} + 2 a, ∴\therefore f(a)=f(1)=3f ( a ) = f ( 1 ) = 3

태그

#정적분으로 정의된 함수

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