미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분 방정식

문제

연속함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 ∫0xf(t)dt=cos⁡2x+ax2+a\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t )} dt = \cos 2 x + ax ^{2} + a 를 만족시킬 때, f(π2)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①−32π\displaystyle - \frac{3}{2} \pi②−π- \pi③−π2\displaystyle - \frac{\pi}{2}④00⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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②

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해설

[출제의도] 정적분의 성질을 이해하고 함숫값을 구한다. ∫00f(t)dt=0\displaystyle \int _{0} ^{0} {} f ( t ) dt = 0이므로 주어진 식에 x=0x = 0을 대입하면 cos⁡0+a×02+a=0\cos 0 + a \times 0 ^{2} + a = 0 ∴ a=−1a = - 1 ∫0xf(t)dt=cos⁡2x−x2−1\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt = \cos 2 x - x ^{2} - 1}의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)=−2sin⁡2x−2xf ( x ) = - 2 \sin 2 x - 2 x ∴ f(π2)=−2sin⁡π−π=−π\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = - 2 \sin \pi - \pi = - \pi

태그

#정적분으로 정의된 함수#삼각함수 미분

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